Telefónne číslo

Označme číslice takto:  
A B C - D E F - G H I  
(deväť číslic, žiadna sa neopakuje)

Zadanie:
1. Prostredné číslo v druhom trojčísli (E) je 3x väčšie než 6. (F) a dvakrát väčšie ako 7. (G).  
  - Teda: E = 3 × F a E = 2 × G .
  - Pretože E, F, G sú číslice (0-9), a žiadna sa neopakuje, musí platiť:
    - E = 3F ⇒ F musí byť 1, 2 alebo 3 (inak by E bolo príliš veľké).
    - E = 2G ⇒ G musí byť 1, 2, 3 alebo 4.
  - Skombinujme: Ak F=1, potom E=3; potom G=1,5 (nie celé číslo) – nie.
    Ak F=2, potom E=6; potom G=3.
    Ak F=3, potom E=9; potom G=4,5 – nie.
  - Takže jediná možnosť: F=2, E=6, G=3.

2. Trojciferné číslo prostredných 3 čísel (DEF) je 2x väčšie ako posledné tri čísla (GHI).  
  - Teda: overline{DEF} = 2 × overline{GHI} .
  - Vieme: E=6, F=2, G=3. Takže:
        overline{D62} = 2 × overline{3HI}
  - Pretože overline{D62} je párne (násobok 2), a overline{3HI} je jeho polovica.
  - Skúsme:
        overline{D62} = 100D + 62
        overline{3HI} = 300 + 10H + I
       Takže: 100D + 62 = 2 × (300 + 10H + I) = 600 + 20H + 2I
       Upravíme: 100D + 62 = 600 + 20H + 2I
        100D = 538 + 20H + 2I
        50D = 269 + 10H + I
  - Ľavá strana je násobok 50, takže pravá musí byť tiež. Preto 269 + 10H + I musí byť deliteľné 50.
  - Možné hodnoty: 250, 300, ... Ale keďže D je číslica (1-9), 50D je medzi 50 a 450. Takže jediné možnosti sú 250, 300, 350.
       Ak 50D=250 ⇒ D=5, potom 269+10H+I=250 ⇒ 10H+I=-19 – nemožné.
       Ak 50D=300 ⇒ D=6, potom 269+10H+I=300 ⇒ 10H+I=31.
       Ak 50D=350 ⇒ D=7, potom 269+10H+I=350 ⇒ 10H+I=81.
  - D=6 alebo D=7.
  - Ale E=6, a číslice sa neopakujú, takže D nemôže byť 6. Preto D=7.
       Potom: 10H + I = 81. Jediná možnosť: H=8, I=1.

  - Takže: D=7, E=6, F=2; G=3, H=8, I=1.
  - Overíme: overline{762} = 2 × overline{381} = 762 – sedí.

3. Druhá číslica (B) je súčet 1. (A) a 3. (C) a 1. (A) je menšie ako tretie (C).  
  - Teda: B = A + C a A < C .
  - Zostávajúce číslice: máme už použité: 7,6,2,3,8,1. Zostáva: 0,4,5,9.
  - A, B, C sú z týchto štyroch, a žiadna sa neopakuje.
  - B = A + C , a A < C.
  - Možné dvojice (A,C) z {0,4,5,9} s A<C:
       (0,4): B=0+4=4 – ale 4 je k dispozícii.
       (0,5): B=0+5=5 – k dispozícii.
       (0,9): B=0+9=9 – k dispozícii.
       (4,5): B=4+5=9 – k dispozícii.
       (4,9): B=4+9=13 – nie, B musí byť číslica.
       (5,9): B=5+9=14 – nie.
  - Takže možné trojice (A,B,C):
       (0,4,4) – ale B sa opakuje? Nie, ale číslice sa nemajú opakovať, a tu by B=4 a C=4 – to nie je povolené. Takže (0,4,4) nie je platné.
       (0,5,5) – rovnaký problém: B=5 a C=5 – nie.
       (0,9,9) – nie.
       (4,9,5) – tu A=4, B=9, C=5. Ale podmienka A<C: 4<5 – áno. A číslice sú rôzne: 4,9,5 – všetky rôzne.
       (5,9,4) – ale A<C: 5<4? Nie.
  - Jediná platná možnosť: A=4, B=9, C=5.

4. Zostáva priradiť poslednú číslicu?  
  - Zostali sme s číslicami: 0. Ale už sme použili všetky okrem 0?
  - Použité: A=4, B=9, C=5; D=7, E=6, F=2; G=3, H=8, I=1.
  - Zoznam: 4,9,5,7,6,2,3,8,1 – všetky číslice od 1 do 9, ale chýba 0. Ale 0 nie je použité, a nemáme pre ňu miesto. Telefónne číslo má deväť číslic, a my sme už všetky priradili. Takže 0 nie je použité.

Telefónne číslo je teda: A B C - D E F - G H I = 4 9 5 - 7 6 2 - 3 8 1

Overíme všetky podmienky:
- E=6 je 3x väčšie ako F=2 (3*2=6) a 2x väčšie ako G=3 (2*3=6) – ok.
- overline{DEF} = 762 = 2 × 381 = 2 × overline{GHI} – ok.
- B=9 = A+C = 4+5 – ok.
- A=4 < C=5 – ok.
- Všetky číslice sú rôzne: 4,9,5,7,6,2,3,8,1 – áno, žiadna sa neopakuje.