Exponenciálny pokles

Nádrž obsahuje 55 litrov vody. Voda tečie rýchlosťou 7% za minútu. Ako dlho trvá vypustenie nádrže?

Výsledok

t = min (Správna odpoveď je: INF)
t₂ =  14,2857 min

Riešenie:

$$\begin{gathered} p_1=7\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{7}{100}}=0.07 \\ q=1-p_1=1-0.07={\displaystyle \frac{93}{100}}=0.93 \\ {V}_1=55\text{ l } \\ {V}_2=V_1\cdot q=55\cdot 0.93={\displaystyle \frac{1023}{20}}=51.15\text{ l } \\ {V}_3=V_2\cdot q=51.15\cdot 0.93=47.5695\text{ l } \\ {V}_4=V_3\cdot q=47.5695\cdot 0.93\doteq 44.2396\text{ l } \\ {V}_5=V_4\cdot q=44.2396\cdot 0.93\doteq 41.1429\text{ l } \\ \dots \\ V(n)=V(n-1)\cdot q \\ V(n)=V_1\cdot e^{-t\mathrm{/}\tau } \\ q=e^{-t\mathrm{/}\tau } \\ \tau =-1\mathrm{/}\ln (q)=-1\mathrm{/}\ln (0.93)\doteq 13.7797\text{ min } \\ {V}_n\mathrm{\ne }0 \\ t=\mathrm{\infty } \end{gathered}$$

$t_2=1\mathrm{/}{p}_1=1\mathrm{/}0.07={\displaystyle \frac{100}{7}}=14.2857\text{ min}$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 0 komentárov:

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Teplovzdušný balón
  Teplovzdušný balón vystúpi 25 metrov vysoko za minútu po štarte. Každú ďalšiu minútu vystúpi 75 percent výšky, ktorú vystúpal za predchádzajúci minútu. a) koľko metrov vystúpi za šiestu minútu po štarte b) aká bude jeho celková výška 10 minút po štarte c)
• Nádrž
  Do nádrže tvar kvádra, rozmer dna 2m a 3,5m; nateká voda rýchlosťou 50 litrov za minútu. Ako dlho bude tiecť, ak má byť výška vody 50 cm?
• Nekonečný des. rozvoj
  Predstav si nekonečné, desatinné číslo 0,99999999 .. ... ... ... čiže desatinnú čiarku a za ňou nekonečnú postupnosť deviatok. Urči o koľko je toto číslo menšie ako číslo 1. Za vyriešenie tohto náročného príkladu vopred ďakujem.
• Nádrž a dve čerpadlá
  Čerpadlu A trvá dvakrát dlhšie na plnenie nádrže ako čerpadlu B. Spoločne naplnia nádrž za 2 hodiny. Ako dlho trvá každému čerpadlu samému naplniť nádrž?
• Črievička
  Črievička (jednobunkový organizmus za ideálnych podmienok sa rozdelí na 2 črievičky v priemere každých 27 hodín, Keby všetky črievičky zostáva na žive, koľko by ich bolo za 7 dní?
• Pán Gazdíček
  Pán Gazdíček má v záhrade dve rovnaké nádrže na dažďovú vodu, ktorú využíva na priebežné zavlažovanie. Pri poslednej kontrole bolo v prvej nádrži 1000 litrov a v druhej 1200 litrov vody. Z prvej nádrže vyteká voda rýchlosťou 10 litrov za hodinu, z druhej
• Ľadová plocha
  Obdĺžnikové klzisko s rozmermi 55 m a 25 m chceme pokryť vrstvou ľadu hrubou 4 cm. Koľko litrov vody na to potrebujeme, ak voda po zamrznutí zväčší svoj objem o 10% ?
• Rad, rady ...
  Určte súčet nekonečného radu: 1/3+1/9+1/27+1/81.. .
• Počet 7
  Počet obyvateľov vzrástol za 10 rokov z 25000 na 33600. Vypočítajte, aký bol priemerný ročný prírastok obyvatelstva v %?
• Do kina
  Janka sa v 8 hod dozvedela, že všetkých 1093 žiakov školy pôjde do kina. Počas 20 min. to povedala 3 kamarátom. Každý z nich to opäť za 20 min. povedal ďalším trom. Týmto spôsobom sa správa šírila ďalej. V koľko hodín sa ju dozvedeli všetky deti v škole?
• Prítoky 3
  Z dvoch prítokov natečie do nádrže za 6 minút 240 litrov vody. Širším pritečie za 9 minút o 20 litrov viac než užším za 11 minút. Koľko litrov vody vytečie každým prítokom za 1 minútu?
• Do nádrže 2
  Do nádrže sa zmestí 140 litrov vody. Kohútikom sa nádrž naplní za 5 minút, odtokom sa vyprázdni za 7 minút. Za aký čas sa naplní prázdna nádrž, ak otvoríme kohútik aj odtok?
• Zlomok
  Číslo ? zapíšte ako zlomok a/b, kde a je čitateľ a b menovateľ. a,b - prirodzené čísla.
• Kohúty
  Prívodnom kohútom s prietokom 12 litrov za sekundu sa naplní nádrž za 72 minút. Za ako dlho sa nádrž naplní, otvoríme ak po pol hodine ešte jeden taký kohút?
• Prírastky dreva
  Ročné prírastky dreva v lese sa odhadujú na 2%. Za koľko rokov sa objem lesa zdvojnásobí?
• Rad
  Určite 9-tý člen a súčet geometrického radu: 4+4/3+4/9+4/27+4/81+4/243+....
• Tlakové
  Tlakové čerpadlo dodá za 1minutu do nádrže na vodu tvaru kvádra 2 metre kubické vody . Koľko vody načerpá za 1 hodinu a ako vysoko siaha voda v nádrži s dĺžkou 7m a šírkou 5 metrov?