Manželia

Zadané:
- Pri stole sedí 16 ľudí: 8 na jednej strane a 8 na opačnej strane.
- Sú tam 2 manželské páry.
- Každý manželský pár chce sedieť oproti sebe.
- Zvyšní ľudia (16 - 4 = 12) sú jednotlivci.

Cieľ: Nájsť počet spôsobov, ako sa môžu všetci usadiť.


Krok 1: Umiestnenie manželských párov

Každý manželský pár musí sedieť oproti sebe. To znamená, že ak jeden manžel sedí na jednej strane, jeho manželka musí sedieť priamo oproti na druhej strane.

Stôl má 8 miest na každej strane. Pre manželský pár si môžeme vybrať:
- Ktorú dvojicu protiľahlých miest použijú.
- Ktorý manžel sedí na ktorej strane.

Pre prvý manželský pár:
- Vyberáme 2 protiľahlé miesta (jedno na každej strane). Na jednej strane je 8 miest, takže máme 8 možností, kde umiestniť manžela (a potom manželka automaticky oproti).
- Ale pre každé také umiestnenie môžeme manžela a manželku vymeniť (t.j. manželka na prvej strane a manžel oproti). To dáva 2 možnosti na usadenie páru na vybraných miestach.

Takže pre prvý pár:
- Počet spôsobov: 8 × 2 = 16.

Pre druhý manželský pár:
- Teraz zostáva 7 dvojíc protiľahlých miest (keďže jedna už je obsadená prvým párom).
- Podobne: vyberieme jedno z 7 voľných protiľahlých párov miest, a potom 2 spôsoby, kto sedí na ktorej strane.
- Počet: 7 × 2 = 14.

Celkovo pre umiestnenie oboch manželských párov:


Krok 2: Umiestnenie zvyšných 12 jednotlivcov

Zostáva 12 jednotlivcov a 16 - 4 = 12 voľných miest (keďže 4 miesta sú už obsadené manželskými pármi).

Týchto 12 ľudí musíme usadiť na zvyšných 12 miest. Tieto miesta sú na oboch stranách stola, ale už sú konkrétne určené (nie sú párované, pretože manželské páry už zabrali protiľahlé dvojice).

Zvyšných 12 miest je:
- Na prvej strane: 8 - 2 = 6 miest (lebo 2 manželia z prvého páru obsadili dve miesta, ale jedno na každej strane? Pozor: každý manželský pár zaberá jedno miesto na každej strane. Takže spolu 2 páry zaberú 2 miesta na každej strane. Teda na každej strane zostáva 8 - 2 = 6 miest. Celkovo teda 12 miest.

Týchto 12 jednotlivcov môžeme usadiť na týchto 12 miest ľubovoľne. Počet permutácií je 12!.

Krok 3: Celkový počet spôsobov

Celkový počet spôsobov je súčin:
- Spôsobov umiestnenia manželských párov: 224
- Spôsobov umiestnenia jednotlivcov: 12!

Teda:


Krok 4: Výpočet číselnej hodnoty

Vypočítajme číselne:



Teda:


Odpoveď:


Toto je počet spôsobov, ako sa môže 16 ľudí usadiť pri stole s 8 miestami na každej strane, s 2 manželskými pármi, kde každý pár sedí oproti sebe.