Michaela

Michaela má ve své sbírce dvě vázy. První váza má tvar kužele s průměrem podstavy d = 20 cm; druhá váza má tvar komolého kužele s průměrem spodní podstavy d1 = 25 cm a s průměrem horní podstavy d2 = 15 cm. Do které vázy se vejde více vody, pokud výška obou váz je 0,5 m?

Správná odpověď:

V₁ =  5235,9878 cm³
V₂ =  5104,1667 cm³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} d=20\text{cm} \\ {d}_1=25\text{cm} \\ {d}_2=15\text{cm} \\ h=0,5\text{m}\to \text{cm}=0,5\cdot 100\text{cm}=50\text{cm} \\ r=d/2=20/2=10\text{cm} \\ {r}_1=d_1/2=25/2=\frac{25}{2}=12,5\text{cm} \\ {r}_2=d_2/2=15/2=\frac{15}{2}=7,5\text{cm} \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 10^2\cdot 50=5235,9878{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_1=\pi \cdot r_1^2=3,1416\cdot 12,5^2\doteq 490,8739{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=\pi \cdot r_2^2=3,1416\cdot 7,5^2\doteq 176,7146{\text{cm}}^2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot h\cdot (S_1+\sqrt{S_1\cdot S_2}+S_2)=\frac{1}{3}\cdot 50\cdot (490,8739+\sqrt{490,8739\cdot 176,7146}+176,7146)=\frac{30625}{6}\doteq 5104,1667{\text{cm}}^3 \\ {V}_2<V_1 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac{1}{3}\cdot 50\cdot ({\frac{25}{2}}^2+\frac{25}{2}\cdot \frac{15}{2}+{\frac{15}{2}}^2){\text{cm}}^3=\frac{30625}{6}{\text{cm}}^3=5104,1667{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad