Na louce

Na louce přistála kosmická loď ve tvaru koule o průměru 6 m. Aby nepoutala pozornost, zakryli ji marťanci střechou ve tvaru pravidelného kužele. Jak vysoká bude tato střecha, aby spotřeba krytiny byla minimální?

Správná odpověď:

S =  115,6965 m²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} D=6\text{m} \\ R=D/2=6/2=3\text{m} \\ \sin \alpha =r/s \\ R:(h-R)=r:s=\sin \alpha \\ r=s\cdot \frac{R}{h-R} \\ S=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot R/(h-R)\cdot s^2 \\ S=\pi \cdot R/(h-R)\cdot ((R/(h-R){)}^2+h^2) \\ S=(3(9/(-3+h{)}^2+h^2)\pi )/(-3+h) \\ h=6,37252\doteq 6,3725\text{m} \\ s=\sqrt{(R/(h-R){)}^2+h^2}=\sqrt{(3/(6,3725-3){)}^2+6,3725^2}\doteq 6,4343\text{m} \\ r=s\cdot \frac{R}{h-R}=6,4343\cdot \frac{3}{6,3725-3}\doteq 5,7236\text{m} \\ S=\pi \cdot r\cdot s=3,1416\cdot 5,7236\cdot 6,4343=115,6965{\text{m}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad