Trojúhelník + lichoběžník

Lichoběžník ABCD se základnami AB=a, CD=c má výšku v. Bod S je střed ramene BC. Dokažte, že obsah trojúhelníku ASD se rovná polovině obsahu lichoběžníku ABCD.

Správná odpověď:

x =  1

Postup správného řešení:


Zkusit jiný příklad


Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 1 komentář:
Dr. Math
- Lichoběžník ABCD má základne AB = a , CD = c a výšku v .  
- Bod S je střed ramena BC .  

 Obsah lichoběžníka ABCD  


Obsah lichoběžníka sa vypočíta podľa vzorca:  
PABCD = a + c2 · v

 Obsah trojúhelníka ASD  


Trojúhelník ASD má základňu AD (ktorá je rovnobežná s BC ) a výšku (vzdialenosť bodu S od AD ).  

a) Poloha bodu S  


- Rameno BC má dĺžku √(a-c)2 + v2 (ak je lichoběžník všeobecný), ale presná dĺžka nie je pre dôkaz dôležitá.  
- Pre súradnicovú analýzu umiestnime lichoběžník do roviny:  
 - Nech A = (0, 0) , B = (a, 0) , C = (c, v) , D = (0, v) .  
 - Stred S ramena BC má súradnice:  
 
 S = ( a + c2, 0 + v2 ) = ( a + c2, v2 )
 

b) Výpočet obsahu Δ ASD  


- Vrcholy trojúhelníka: A(0,0) , S( a+c2, v2 ) , D(0,v) .  
- Použijeme determinantový vzorec pre obsah trojúhelníka:  
PASD = 12 ( x_A(y_S - y_D) + x_S(y_D - y_A) + x_D(y_A - y_S) )
 
Dosadením súradníc:  
PASD = 12 ( 0 ( v2 - v ) + a+c2 (v - 0) + 0 (0 - v2) ) = 12 · (a+c)v2 = (a+c)v4

Porovnanie obsahov  


Obsah lichoběžníka:  
PABCD = (a + c)2 · v
 
Obsah trojúhelníka ASD :  
PASD = (a + c)v4 = 12 · (a + c)v2 = 12 PABCD
 

Záver  


Obsah trojúhelníka ASD je skutočne polovicou obsahu lichoběžníka ABCD , čo sme mali dokázať.  Dôkaz nezávisí od tvaru lichoběžníka, platí pre všetky lichoběžníky s danými základňami a výškou.





Tipy na související online kalkulačky
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

planimetrietémaÚroveň náročnosti úkolu

Související a podobné příklady: