MO Z9–I–2 - 2017

V lichoběžníku VODY je VO delší základnou a průsečík úhlopříček K dělí úsečku VD v poměru 3:2 . Obsah trojúhelníku KOV je 13,5 cm2. Urči obsah celého lichoběžníku.

Správný výsledek:

S =  37,5 cm2

Řešení:

S1=13.5 cm2 k2=(2/3)2=490.4444 S2=k2 S1=0.4444 13.5=6 cm2 k3=(2+3)/3=531.6667 S3=k3 S1S1=1.6667 13.513.5=9 cm2 k4=(2+3)/2=52=2.5 S4=k4 S2S2=2.5 66=9 cm2 S=S1+S2+S3+S4=13.5+6+9+9=752=752 cm2=37.5 cm2



Budeme velmi rádi, pokud najdete chybu v příkladu, pravopisné chyby nebo nepřesnost a ji nám prosím pošlete . Děkujeme!






Zobrazuji 21 komentářů:
#
Dr Math

3 roky  1 Like
#
Dr Math
k2,k3,k4 - koeficienty zvětšení / zmenšení; neco jako stejnolehlosti. Koeficient zvětšení / zmenšení obsahu je druhou mocninou koeficientu zvětšení / zmenšení délky ...

S1 je trojúhelník KOV
S2 je trojúhelník KDY
S3 je trojúhelník ODK
S4 je trojúhelník VKY

obsah trojúhelník je strana x vyska / 2. Např. trojúhelník S3 = DYV - S2, a DYV ma k3-krat větší výšku než S2. atd

#
Aja
Pořád nechápu, jak určit obsah trojúhelníků S3 a S4. Které trojúhelníky jsou podobné? V čem? Proč má být výška DYV k3krát větší než v S2. Výšku v S2 neznám.

3 roky  1 Like
#
@user
Dr Math díky za Vaše řešení. Pro mě je to nejjednodušší takto:
S1 = 13,5 cm2
k2 = (2/3)*(2/3)
S2 = k2 . S1 = 6 cm2
S3 = (2/3) . S1 = 9 cm2
S4 = (3/2) . S2 = 9 cm2
S = S1 + S2 + S3 + S4 = 37,5 cm2

3 roky  2 Likes
#
Josef
Nebyla by nějaká verze řešení --verbose?
Stále mi uniká původ/účel těch zmíněných koeficientů a z čeho vychází věta, že "Koeficient zvětšení / zmenšení obsahu je druhou mocninou koeficientu zvětšení / zmenšení délky"?

#
Dr Math
obsah trojuhelniku S = a*h/2. ak stranu zvacsim k-krat, zvacsi sa obsah k-krat. Ak stranu a aj vysku zvacsim k-krat, zvacsi sa obsah k2 krat.... S2 = ak*hk/2 = ah/2 * k2 = S1 * k2.

#
Matikar
jde take o to ze MO ulohy nekomu nepomohou ani s resenim....

3 roky  1 Like
#
Josef
Dr Math, díky za komentář, jasné a přínosné! Na rozdíl od Matikar, jehož rádoby příspěvek je naprosto zbytečný.

#
Vítek
Nakonce jsem pochopil vysvětlení od @user.

Pokud byste s tím měli někdo stejný problém jako já, osvětluji:
- výpočet funguje takto: S1 = a × v ÷ 2 = 13,5
- u trojúhelníku S2 se oproti S1 zvětšily 2/3krát výška i strana -> S2 = ak × vk ÷ 2 = k² × a × v ÷ 2 = k² × S1 = (2/3)² × 13,5 = 6
- u trojúhelníku S3 se oproti S1 zvětšila 2/3krát pouze strana (pokud bereme v úvahu údaje ve vzorci) -> S3 = ak × v ÷ 2 = k × a × v ÷ 2 = k × S1 = (2/3) × 13,5 = 9
- u trojúhelníku S4 se oproti S2 zvětšila také pouze strana, ale 3/2krát -> S4 = ak × v ÷ 2 = k × a × v ÷ 2 = k × S1 = (3/2) × 6 = 9

#
Milujumo
Výpočty chápu, ale vysvětlí mi někdo, jak dojít třeba k tomu, že se u S2 zvětšila výška i strana 2/3krát? Stranu chápu, tam je napsáno to 3:2, ale výšku?

3 roky  1 Like
#
Žák
jak zjistme že se jedná o rovnoramenný lichoběžník?

#
Olinpin
Mohl by mi to prosím někdo vysvětlit ,,lajcky'' něak se mi to nedaří pochopit.

#
Žák
Také by me zajímalo, jak ze zadání zjistíme, ze se jedna o rovnoramenný lichoběžník.

#
Dr Math
rovnoramenný lichoběžník - to se nikde ani nespomina ani netvrdi. Obrazek je pouze ilustrativni (aby vas svedl) a ze zadani je jasne "Obsah trojúhelníku KOV je 13,5 cm2" - ze v reali jsou takovych trojuhelniku tuny (nekonecno). napr strana k=13.5 cm a vejska na k 2 cm.  I tu bychom napovedelo ze priklad lze spocitat spravne kdyz si zvolim nejake libovolne rozmery trojuhlenika KOV. A pak zobecnim reseni (induktivne) ze pro vsechny KOV s obsahem 13,5 cm2

3 roky  1 Like
#
Žák
Ta úhlopříčka YO je také rozdělená v poměru 2:3 ?? Jinak to moc asi nechápu ?????????

#
Žák
Kolik měří strany a úhlopříčky?

#
Dr Math
Priklad je abstraktny.... tj. nema zmysel merat strany a uhlopricky.... Patrne vyhovuje napr.  strana a=1 a jemu prislouchajici uhlopricky ale  take  a = 1000 cm a jemu prislouchajici uhlopricky. Avsak obsah bude stale stejny a rovnez pomer 3:2

#
Žák
Mohl byste mi to prosim tedy nějak jednoduše laicky vysvětlit? Děkuji

#
Žák
Jde příklad vypočítat bez těch k??

#
Žák
Ja to přád nemohu pochopit. Pomozte prosím.

#
Žák
Nemohlo by se to řešit hlavně na základě poměrů??

avatar









Tipy na související online kalkulačky
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Vyzkoušejte naši kalkulačka na přepočet poměru.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

 
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1

Další podobné příklady a úkoly:

  • V lichoběžníku 3
    stredova sumernost V lichoběžníku ABCD jsou dány délky základen |AB| = 12 cm, |CD| = 8 cm. Bod S je průsečík úhlopříček, pro který platí |AS| = 6 cm. Vypočítej délku celé úhlopříčky AC.
  • MO Z9-I-6 2019
    triangles Kristýna zvolila jisté liché přirozené číslo dělitelné třemi. Jakub s Davidem pak zkoumali trojúhelníky, které mají obvod v milimetrech roven Kristýnou zvolenému číslu a jejichž strany mají délky v milimetrech vyjádřeny navzájem různými celými čísly. Jaku
  • Z8-I-6 MO 2017
    axes_2 Přímka představuje číselnou osu a vyznačené body odpovídají číslům a, - a, a + 1, avšak v neurčeném pořadí. Sestrojte body, které odpovídají číslům 0 a 1. Proberte všechny možnosti.
  • Lichoběžník
    lichobeznik_6 V rovnoramenného lichoběžníku KLMN je průsečík úhlopříček označen písmenem S. Vypočítejte obsah lichoběžníku, pokud /KS/: /SM/ = 2: 1 a obsah trojúhelníku KSN je 14 cm2.
  • V lichoběžníku
    image22 V lichoběžníku ABCD jsou dány základny: AB = 12cm CD = 4 cm A úhlopříčky se protínají pod pravým úhlem. Jaký je obsah tohoto lichoběžníku ABCD?
  • Uhlopříčky 19
    kosodlznik_2 Určete délky uhlopříček kosočtverce, je-li obsah 156 cm2 a strana 13 cm.
  • Lichoběžník - úhlopříčky
    licho Lichoběžník má délku úhlopříčky AC přeseknutu úhlopříčkou BD v poměru 2:1. Trojúhelník vytvořen body A, průnikem úhlopříček (S) a bodem D má obsah 164 cm2. (Tomuto trojúhelníku také patří strana úhlopříčky AC a je 2x větší než její druhá část.) Jaký je o
  • Z9 – I – 2 MO 2018
    equliateral V rovnostranném trojúhelníku ABC je K středem strany AB, bod L leží v třetině strany BC blíže bodu C a bod M leží v třetině strany AC blíže bodu A. Určete, jakou část obsahu trojúhelníku ABC zabírá trojúhelník KLM.
  • Z9-I-6 MO 2017
    olympics_1 Na přímce představující číselnou osu uvažte navzájem různé body odpovídající číslům a, 2a, 3a+1 ve všech možných pořadích. U každé možnosti rozhodněte, zda je takové uspořádání možné. Pokud ano, uveďte konkrétní příklad, pokud ne, zdůvodněte proč.
  • Strany z poměru
    triangle3_1 Vypočítej obvod trojúhelníka s obsahem 84 cm2 platí-li a:b:c = 10:17:21
  • Z9–I–3 - 2017 kafemlýnky2
    robots Roboti Robert a Hubert skládají a rozebírají kafemlýnky. Přitom každý z nich kafemlýnek složí čtyřikrát rychleji, než jej sám rozebere. Když ráno přišli do dílny, několik kafemlýnků už tam bylo složeno. V 7:00 začal Hubert skládat a Robert rozebírat, přes
  • Sestrojte 5
    kosostvorec Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho úhlopříčka BD měla velikost 8 cm a vzdálenost vrcholu B od primky AD byla 5 cm. Určete všechny možnosti
  • Z9-I-5 MO 2017 obdélník
    flg Uvnitř obdélníku ABCD leží body E a F tak, že úsečky EA, ED, EF, FB, FC jsou navzájem shodné. Strana AB je dlouhá 22 cm a kružnice opsaná trojúhelníku AFD má poloměr 10cm. Určete délku strany BC.
  • Z6-I-6 MO 2018
    12uholnik_1 Ve dvanáctiúhelníku ABCDEF GHIJKL jsou každé dvě sousední strany kolmé a všechny strany s výjimkou stran AL a GF jsou navzájem shodné. Strany AL a GF jsou oproti ostatním stranám dvojnásobně dlouhé. Úsečky BG a EL se protínají v bodě M a rozdělují dvanáct
  • Obří mince
    1cent Z mincovního kovu byla vyrobena obří mince a bylo na ni použito tolik kovu, jako na výrobu 10 milionů skutečných mincí. Jaký má tato obří mince průměr a tloušťku, jestliže poměr průměru ku tloušťce je stejný jako u skutečné mince, která má průměr 1,6 cm a
  • MO - trojúhelníky
    metal Na stranách AB a AC trojúhelníku ABC lěží po řadě body E a F, na úsečce EF leží bod D. Přmky EF a BC jsou rovnoběžné a součastně platí FD : DE = AE : EB = 2:1. Trojúhelník ABC má obsah 27 hektarů a úsečkami EF, AD a DB je rozdělen na čtyři části . Určete
  • Z bodu 2
    ssa Z bodu na kružnici o průměru 8 cm jsou vedeny dvě shodné tětivy, které svírají úhel 60°. Vypočítej délku těchto tětiv.