Hora vysoká

Z krajních bodů základny 240m dlouhé a skloněné o úhel 18°15' je vidět vrchol hory ve výškových úhlech 43° a 51°. Jak je hora vysoká?

Správná odpověď:

h =  1174,9592 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=240\text{ m } \\ \alpha =18+15\mathrm{/}60={\displaystyle \frac{73}{4}}=18.25\text{ ° } \\ {h}_1=a\cdot \sin (\alpha )=240\cdot \sin (18.25\mathrm{°})\doteq 75.1593\text{ m } \\ \cos \alpha =x_0:a \\ {x}_0=a\cdot \cos (\alpha )=240\cdot \cos (18.25\mathrm{°})\doteq 227.9278\text{ m } \\ \beta =43\text{ ° } \\ \gamma =51\text{ ° } \\ \mathrm{tg}\beta =(h-h_1):(x_0+x) \\ \mathrm{tg}\gamma =h:x \\ \mathrm{tg}\beta =(x\cdot \mathrm{tg}\gamma -h_1):(x_0+x) \\ (x_0+x)\cdot \mathrm{tg}\beta =(x\cdot \mathrm{tg}\gamma -h_1) \\ {x}_0\cdot \mathrm{tg}\beta +x\cdot \mathrm{tg}\beta =x\cdot \mathrm{tg}\gamma -h_1 \\ x={\displaystyle \frac{h_1+x_0\cdot \mathrm{tg}\beta \mathrm{°}}{\mathrm{tg}\gamma \mathrm{°}-\mathrm{tg}\beta \mathrm{°}}}={\displaystyle \frac{h_1+x_0\cdot \mathrm{tg}43\mathrm{°}}{\mathrm{tg}51\mathrm{°}-\mathrm{tg}43\mathrm{°}}}={\displaystyle \frac{75.1593+227.9278\cdot \mathrm{tg}43\mathrm{°}}{\mathrm{tg}51\mathrm{°}-\mathrm{tg}43\mathrm{°}}}={\displaystyle \frac{75.1593+227.9278\cdot 0.932515}{1.234897-0.932515}}=951.46321\text{ m } \\ h=x\cdot \mathrm{tg}\gamma \mathrm{°}=x\cdot \mathrm{tg}51\mathrm{°}=951.4632\cdot \mathrm{tg}51\mathrm{°}=951.4632\cdot 1.234897=1174.95922=1174.9592\text{ m } \\ \text{ Zkou}\check{\text{s}}\text{ka spr}\acute{\text{a}}\text{vnosti: } \\ {\beta }_1={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \mathrm{arctg}({\displaystyle \frac{h-h_1}{x_0+x}})={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \mathrm{arctg}({\displaystyle \frac{1174.9592-75.1593}{227.9278+951.4632}})=43\text{ ° } \\ {\gamma }_1={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \mathrm{arctg}(h\mathrm{/}x)={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \mathrm{arctg}(1174.9592\mathrm{/}951.4632)=51\text{ °} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad

Související a podobné příklady:

• Výška domu
  Z vyhlídky na kostelní věži ve výšce 65m je vidět vrchol domu pod hloubkovým úhlem alfa = 45° a jeho spodek pod hloubkovým úhlem beta = 58°. Vypočtěte výšku domu a jeho vzdálenost od kostela.
• Kostelní věž
  Kostelní věž vidíme z cesty pod úhlem 52°. Když se vzdálíme o 29 metrů, je ji vidět pod úhlem 21°. Jaká je vysoká?
• Na vrcholu
  Na vrcholu hory stojí hrad, který má věž vysokou 30m. Křižovatku cest v údolí vidíme z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech 32° 50 'a 30° 10'. Jak vysoko je vrchol hory nad křižovatkou
• Strom 14
  Mezi body A, B je 50m. Z místa A, vidíme strom pod ůhlem 18°. Z místa B, vidíme strom 3x velkým ůhlem. Jak vysoký je strom?
• Pravoúhlý trojúhelník
  Vypočítejte délku zbývajících dvou stran a velikost úhlů v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže a = 10 cm, úhel alfa = 18°40'
• Výslednice sil
  Vypočtěte matematicky a graficky výslednici soustavy tří sil se společným působištěm, jestliže: F1 = 50kN α1 = 30° F2 = 40kN α2 = 45° F3 = 40kN α3 = 25°
• Hodinky
  Jaký úhel svírá hodinová a minutová ručička, pokud je 0:40?
• Stožár
  Vrchol stožáru vidíme ve výškovém úhlu 45°. Pokud se přiblížíme k stožáru o 10 m, vidíme vrchol pod výškovým úhlem 60°. Jaká je výška stožáru?
• Dron
  Létající dron zaměřoval území pro architekta. Vzlétl kolmo z bodu C do bodu D. Byl ve výšce 300 m nad rovinou ABC. Dron z bodu D zaměřil úhel BDC 43°. Vypočítejte v metrech vzdálenost bodů C a B.
• Úhly
  Zjisti zda mohou být uvedené hodnoty velikostmi vnitřních úhlů nějakého trojuhelníku: a) 23°10',84°30',72°20' b) 90°,41°33',48°37' c) 14°51',90°,75°49' d) 58°58',59°59',60°3'
• Budova
  Jak vysoká je budova, která na vodorovnou dlažbu vrhá stín dlouhý 95,2 m pod uhlom 33°18'?
• Pod hloubkovým úhlem
  Záchranářský vrtulník je nad místem přistání ve výšce 180m. Místo záchranné akce je odsud vidět pod hloubkovým úhlem 52°40'. Jak daleko přistane vrtulník od místa záchranářské akce?
• Dvě síly
  Dvě síly s velikostí 25 a 30 Newtonův působí na objekt v úhlech 10° a 100°. Najděte směr a velikost výsledné síly. Zaokrouhlete na dvě desetinná místa mezivýpočty a konečnou odpověď.
• Z okna
  Z okna budovy ve výšce 7,5 m je vidět vrchol továrního komínu pod výškovým úhlem 76° 30′. Pata komínu je ze stejného místa vidět pod hloubkovým úhlem 5° 50′. Jak vysoký je komín?
• V terénu - věta SSU
  V terénu byla měřena vzdálenost bodů P a Q rovná 356 m. Úsečka PQ je vidět od pozorovatele pod zorným úhlem 107°22'. Vzdálenost pozorovatele od místa P je 271 m. Urči zorný úhel, pod kterým je vidět místo P a pozorovatele.
• Stožár
  Stožár elektrického vedení vrhá 15 m dlouhý stín na stráň která stoupá od paty stožáru ve směru stínu pod úhlem o velikosti 6,1°.Určete výšku stožáru jestliže výška Slunce nad obzorem je 32°6'.
• Javor
  Vrchol stromu - javoru vidno ze vzdálenosti 3 m od kmene stromu z výšky 1,9 m pod úhlem 50°. Zjistěte výšku stromu.