V pravidelném 5

V pravidelném trojbokém jehlanu ABCV je odchylka boční stěny a roviny podstavy α = 45°. Určete odchylku boční hrany a roviny podstavy.

Řešení:

1. Popis jehlanu:
  - Pravidelný trojboký jehlan ABCV
  - Podstava: rovnostranný trojúhelník ABC
  - Vrchol: V

2. Značení:
  - Odchylka boční stěny (např. ABV) od podstavy: α = 45°
  - Hledáme odchylku boční hrany (např. AV) od podstavy: β = ?

3. Výpočet:
  a) Označíme:
     - a = délka strany podstavy
     - v = výška podstavy = (a√3)/2
     - h = výška jehlanu
     - s = délka boční hrany

  b) Pro odchylku boční stěny:
     tan(α) = h / (v/3) = 3h/v
     Pro α = 45°: 3h/v = 1 ⇒ h = v/3 = (a√3)/6

  c) Pro odchylku boční hrany:
     sin(β) = h/s
     Nejprve spočteme s = √(h² + (2v/3)²) = √[(a√3/6)² + (a√3/3)²] = √(a²/12 + a²/3) = a√(5/12)
     Pak sin(β) = (a√3/6) / (a√(5/12)) = √(3/5)/2 = √(15)/10
     β = arcsin(√15 / 10) ≈ 37.76°

Odchylka boční hrany AV od roviny podstavy je β = arcsin(√15 / 10) ≈ 37.76°.