Úhel úhlopříčky

V pravidelném 4-bokem jehlanu zvíře boční hrana s úhlopříčkou podstavy úhel 55°. Délka boční hrany je 8 m. Vypočtěte povrch a objem jehlanu.

Správná odpověď:

S =  137,0161 m²
V =  91,9869 m³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} s=8\text{m} \\ \phi =55°\to \text{rad}=55°\cdot \frac{\pi }{180}=55°\cdot \frac{3,1415926}{180}=0,95993=11\pi /36 \\ \sin \phi =h:s \\ h=s\cdot \sin \phi =8\cdot \sin 0,9599\doteq 6,5532\text{m} \\ \cos \phi =u/2:s \\ u=2\cdot s\cdot \cos \phi =2\cdot 8\cdot \cos 0,9599\doteq 9,1772\text{m} \\ {u}^2=a^2+a^2 \\ a=u/\sqrt{2}=9,1772/\sqrt{2}\doteq 6,4893\text{m} \\ {h}_2=\sqrt{h^2+(a/2{)}^2}=\sqrt{6,5532^2+(6,4893/2{)}^2}\doteq 7,3125\text{m} \\ {S}_1=a^2=6,4893^2\doteq 42,1107{\text{dm}}^2 \\ {S}_2=\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{6,4893\cdot 7,3125}{2}\doteq 23,7263{\text{m}}^2 \\ S=S_1+4\cdot S_2=42,1107+4\cdot 23,7263=137,0161{\text{m}}^2 \end{gathered}$$

$V=\frac{1}{3}\cdot S_1\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 42,1107\cdot 6,5532=91,9869{\text{m}}^3$

Zkusit jiný příklad