Tři členy GP

Součet tří čísel v GP (geometrické posloupnosti) je 21 a součet jejich čtverců je 189. Najděte tato čísla.

Správný výsledek:

a =  3
b =  6
c =  12
a2 =  12
b2 =  6
c2 =  3

Řešení:

a+b+c=21 a2+b2+c2=189  b=qa c=q2a  a+qa+q2a=21 a2+q2a2+q4a2=189  a(1+q+q2)=21 a2(1+q2+q4)=189  212(1+q2+q4)=189(1+q+q2)2 252 q4378 q3126 q2378 q+252=0  q4+q2+1=(q2q+1) (q2+q+1)  212(q2q+1) (q2+q+1)=189(1+q+q2)2 212(q2q+1)=189(1+q+q2)  212(q2q+1)=189(1+q+q2) 252q2630q+252=0  a=252;b=630;c=252 D=b24ac=63024252252=142884 D>0  q1,2=b±D2a=630±142884504 q1,2=630±378504 q1,2=1.25±0.75 q1=2 q2=0.5   Soucinovy tvar rovnice:  252(q2)(q0.5)=0   a=21/(1+q1+q12)=21/(1+2+22)=3a+b+c=21 \ \\ a^2+b^2+c^2=189 \ \\ \ \\ b=qa \ \\ c=q^2a \ \\ \ \\ a+qa+q^2a=21 \ \\ a^2 + q^2a^2+q^4a^2=189 \ \\ \ \\ a(1+q+q^2)=21 \ \\ a^2(1 + q^2+q^4)=189 \ \\ \ \\ 21^2(1 + q^2+q^4)=189 (1+q+q^2)^2 \ \\ 252 \ q^4 - 378 \ q^3 - 126 \ q^2 - 378 \ q + 252=0 \ \\ \ \\ q^4 + q^2 + 1=(q^2 - q + 1) \cdot \ (q^2 + q + 1) \ \\ \ \\ 21^2(q^2 - q + 1) \cdot \ (q^2 + q + 1)=189 (1+q+q^2)^2 \ \\ 21^2(q^2 - q + 1)=189 (1+q+q^2) \ \\ \ \\ 21^2(q^2 - q + 1)=189 (1+q+q^2) \ \\ 252q^2 -630q +252=0 \ \\ \ \\ a=252; b=-630; c=252 \ \\ D=b^2 - 4ac=630^2 - 4\cdot 252 \cdot 252=142884 \ \\ D>0 \ \\ \ \\ q_{1,2}=\dfrac{ -b \pm \sqrt{ D } }{ 2a }=\dfrac{ 630 \pm \sqrt{ 142884 } }{ 504 } \ \\ q_{1,2}=\dfrac{ 630 \pm 378 }{ 504 } \ \\ q_{1,2}=1.25 \pm 0.75 \ \\ q_{1}=2 \ \\ q_{2}=0.5 \ \\ \ \\ \text{ Soucinovy tvar rovnice: } \ \\ 252 (q -2) (q -0.5)=0 \ \\ \ \\ \ \\ a=21/(1+q_{1}+q_{1}^2)=21/(1+2+2^2)=3

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

b=q1 a=2 3=6b=q_{1} \cdot \ a=2 \cdot \ 3=6
c=q1 b=2 6=12c=q_{1} \cdot \ b=2 \cdot \ 6=12
a2=21/(1+q2+q22)=21/(1+0.5+0.52)=12a_{2}=21/(1+q_{2}+q_{2}^2)=21/(1+0.5+0.5^2)=12
b2=q2 a2=0.5 12=6b_{2}=q_{2} \cdot \ a_{2}=0.5 \cdot \ 12=6
c2=q2 b2=0.5 6=3c_{2}=q_{2} \cdot \ b_{2}=0.5 \cdot \ 6=3



Naše příklady z velké míry nám poslali nebo vytvořili samotní žáci a studenti. Proto budeme velmi rádi, pokud případně chyby, které jste našli, pravopisné chyby nebo přeformulování příkladu nám prosím pošlete. Děkujeme!





Napište nám prosím svůj komentář ku úloze - postřehy, myšlenku nebo se něco zeptejte. Děkujeme že si takto pomáháme navzájem - žáci, studenti, učitelé, rodiče a tvůrci příkladů.

Zobrazuji 0 komentářů:
avatar




Tipy na související online kalkulačky
Hledáte pomoc s výpočtem kořenů kvadratické rovnice?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?

Další podobné příklady a úkoly:

  • Geometrická posloupnost 4
    Koch_Snowflake_Triangles Je dána geometrická posloupnost a6 = 7 a9 = 77. Vypočtěte s25 (= součet prvních 25 členů této posloupnosti).
  • 5 členů
    pst3.JPG Napište prvních 5 členů geometrické posloupnosti a určete, zda je rostoucí/klesající: a1= 3 q= -2
  • Desátý
    10 Vypočtěte desátý člen geometrické posloupnosti je-li dáno: a1=1/2 a q=2
  • Osm členů
    fn Urči prvních osm členů geometrické posloupnosti, pokud a9=512, q=2
  • Kořeny
    parabola Určitě v kvadratické rovnici absolutní člen q tak, aby rovnice měla reálný dvojnásobný kořen a tento kořen x vypočítejte: ?
  • Výpočet
    pocty Kolik je součet druhé odmocniny ze šesti a druhé odmocniny ze 324?
  • Rovnice s absolutní hodnotou
    abs_graph Kolik řešení má rovnice ? v oboru reálných čísel?
  • Geometrická posloupnost 2
    exp_x Daná je geometrická posloupnost a1=9,1, kvocient q=2,8. Vypočítejte a15.
  • V rovnici
    eq2 V rovnici 2x2 + bx-9=0 je jeden kořen x1=-3/2. Určete druhý kořen a koeficient b
  • Rovnice
    calculator_2 Rovnice ? má jeden kořen x1 = 9. Určitě koeficient b a druhý kořen x2.
  • Stačí dosedit
    kvadrat_2 Určete kořen kvadratické rovnice: 3x2-4x + (-4) = 0.
  • Diskriminant
    Quadratic_equation_discriminant Určitě diskriminant rovnice: ?
  • Rovnice v podílovém tvaru
    eq1_4 Rešte rovnici v podílovém tvaru: 6x*(3x-2)/x+7=0
  • Bikvadratická
    bikvadraticka Zavedením nové proměnné řešte bikvadratickú rovnici: ?
  • Oslavenec
    bonbons_1 Ve třídě rozdávají žáci vždy o svých narozeninách spolužákům bonbóny. Oslavenec dá vždy každému po jednom bonbónu, sobě nedává. Za rok se ve třídě rozdalo celkem 650 bonbónů. Kolik žáků je ve třídě? (Poznámka: Všichni žáci třídy měli narozeniny v den, kdy
  • Z kolika 2
    eq222 Z kolika prvků je možno utvořit dvakrát víc kombinací druhé třídy než kombinací čtvrté třídy?
  • Kvadratická rovnice
    parabola_1 Řešte kvadratickou rovnici: 2x2-58x+396=0