Úhel elevace 3

Úhel elevace tyče z bodu na vodorovné zemi je 15°. Po překonání vzdálenosti 10 m směrem k tyči se úhel elevace změní na 30°. Jaká je výška tyče?

Správná odpověď:

h =  5 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \alpha =15{}^{\circ } \\ \beta =30{}^{\circ } \\ a=10\text{m} \\ \mathrm{tg}\beta =h:x=h/x \\ \mathrm{tg}\alpha =h:(x+a)=h/(x+a) \\ x=h/\mathrm{tg}\beta =h/t_1 \\ {t}_1=\mathrm{tg}\beta =\mathrm{tg}30°=0,57735 \\ {t}_2=\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}15°=0,267949=0,26795 \\ {t}_2\cdot (h/t_1+a)=h \\ {t}_2\cdot h/t_1+a\cdot t_2=h \\ h=\frac{a\cdot t_1\cdot t_2}{t_1-t_2}=\frac{10\cdot 0,5774\cdot 0,2679}{0,5774-0,2679}=5=5\text{m} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ x=h/t_1=5/0,5774=5\sqrt{3}\text{m}\doteq 8,6603\text{m} \\ {\alpha }_2=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{h}{x+a})=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{5}{8,6603+10})=15{}^{\circ } \\ {\beta }_2=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{h}{x})=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{5}{8,6603})=30{}^{\circ } \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad