MO Z7–I–3 2019

Roman má rád kúzla a matematiku. Naposledy čaroval s trojcifernými alebo štvorcifernými číslami takto:
• z daného čísla vytvoril dve pomocné čísla tak, že ho rozdelil medzi ciframi na mieste stoviek a desiatok (napr. Z čísla 581 by dostal 5 a 81),
• pomocné čísla sčítal a zapísal výsledok (v uvedenom príklade by dostal 86),
• od väčšieho z pomocných čísel odčítal menšie a výsledok zapísal za predchádzajúci súčet, čím vyčaroval výsledné číslo (v uvedenom príklade by dostal 8676).

Z ktorých čísel mohol Roman vyčarovať
a) 171,
b) 1513?

Určte všetky možnosti. Aké najväčšie číslo možno takto vyčarovať a z ktorých čísel môže vzniknúť? Určte všetky možnosti.

Správny výsledok:

x₁ =  114
x₂ =  809
x₃ =  908
x₄ =  1401
x₅ =  7477
x₆ =  7774
x₇ =  18810

Riešenie:

$$\begin{gathered} x_1=114 \\ {p}_{11}=1 \\ {p}_{21}=14 \\ {s}_1=p_{11}+p_{21}=1+14=15 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{11}-p_{21}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1-14\mathrm{\mid }=13 \\ {c}_1=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_2=809 \\ {p}_{12}=8 \\ {p}_{22}=9 \\ {s}_2=p_{12}+p_{22}=8+9=17 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{12}-p_{22}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }8-9\mathrm{\mid }=1 \\ {c}_2=171 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_3=908 \\ {p}_{13}=9 \\ {p}_{23}=8 \\ {s}_3=p_{13}+p_{23}=9+8=17 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{13}-p_{23}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }9-8\mathrm{\mid }=1 \\ {c}_3=171 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_4=1401 \\ {p}_{14}=14 \\ {p}_{24}=1 \\ {s}_4=p_{14}+p_{24}=14+1=15 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{14}-p_{24}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }14-1\mathrm{\mid }=13 \\ {c}_4=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_5=7477 \\ {p}_{15}=74 \\ {p}_{25}=77 \\ {s}_5=p_{15}+p_{25}=74+77=151 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{15}-p_{25}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }74-77\mathrm{\mid }=3 \\ {c}_5=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_6=7774 \\ {p}_{16}=77 \\ {p}_{26}=74 \\ {s}_6=p_{16}+p_{26}=77+74=151 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{16}-p_{26}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }77-74\mathrm{\mid }=3 \\ {c}_6=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_7=18810 \\ c=8999,9989 \\ {p}_{17}=8999 \\ {p}_{27}=9989 \\ {s}_7=p_{17}+p_{27}=8999+9989=18988 \\ o=\mathrm{\mid }{p}_{17}-p_{27}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }8999-9989\mathrm{\mid }=990 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 4 komentáre:

Žiak

Riešenie nie je riešenie ale výsledok. Z riešenia sa nedá vysvetliť ako ste to spravili

1 rok  Like

Matematik

Máte pravdu; ale pri príkladoch z matematickej olympiády nás jej organizátori kritizujú že podkoávame zmysel súťaže.... že navádzame k podvodom...  Preto je to tak ako je... a ďaľšie príklady riešiť nebudeme....

1 rok  1 Like Like

Žiak

Okej aj tak to mám už dávno vyriešené ???????????? len sme sa nevedeli s kamarátom dohodnúť na výsledku, tak som hľadal na internete

1 rok  1 Like Like

Matematik

výsledok je taký správny, ktorý vyhovuje zadaniu. Otázne je vždy či človek našiel všetky riešenia....

1 rok  1 Like Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Z7–I–1 MO 2018
  Na každej z troch kartičiek je napísaná jedna cifra rôzna od nuly (na rôznych kartičkách nie sú nutne rôzne cifry). Vieme, že akékoľvek trojciferné číslo zložené z týchto kartičiek je deliteľné šiestimi. Navyše možno z týchto kartičiek zložiť trojciferné
• Z6 – I – 6 MO 2019
  Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Medzi
• Slávkine čísla
  Slávka si napísala farebnými fixkami štyri rôzne prirodzené čísla: červené, modré, zelené a žlté. Keď červené číslo vydelí modrým, dostane ako neúplný podiel zelené číslo a žlté predstavuje zvyšok po tomto delení. Keď vydelí modré číslo zeleným, vyjde jej
• Z5 – I – 5
  Tomáš dostal deväť kartičiek, na ktorých boli nasledujúce čísla a matematické symboly matematická olympiáda výsledky. 18, 19, 20, 20, +, -, x, (, ) Pozn. 4 čísla a operátory plus, mínus, krát, ľavá zátvorka, pravá zátvorka. Kartičky ukladal tak, že vedľa
• MO C-I-3 2019
  Určte všetky dvojice prirodzených čísel A a B, pre ktoré platí, že súčet dvojnásobku najmenšieho spoločného násobku a trojnásobku najväčšieho spoločného deliteľa prirodzených čísel A a B je rovný ich súčinu.
• Samopočet
  Samopočet funguje presne ako kalkulačka. Hostinský chcel na samopočte sčítať niekoľko trojciferných prirodzených čísel. Na prvý pokus dostal výsledok 2224. Pre kontrolu sčítal tieto čísla znova a vyšlo mu 2198. Preto sčítal tieto čísla ešte raz a teraz do
• MO Z9-I-6 2019
  Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
• Z8-I-2 MO 2018
  Do triedy pribudol nový žiak, o ktorom sa vedelo, že okrem angličtiny vie výborne ešte jeden cudzí jazyk. Traja spolužiaci sa dohadovali, ktorý jazyk to je. Prvý súdil: ”Francúzština to nie je. “ Druhý hádal: ”Je to španielčina alebo nemčina. “ Tretí usud
• Z9–I–4 MO 2017
  Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 sa chystali na cestu vlakom s tromi vagónmi. Chceli sa rozsadiť tak, aby v každom vagóne sedeli tri čísla a najväčšie z každej trojice bolo rovné súčtu zvyšných dvoch. Sprievodca tvrdil, že to nie je problém, a snažil sa č
• Z7–I–1 MO 2017
  Peter povedal Pavlovi: ”Napíš dvojciferné prirodzené číslo, ktoré má tú vlastnosť, že keď od neho odčítaš dvojciferné prirodzené číslo s tými istými ciframi napísanými v opačnom poradí, dostaneš rozdiel 63.“ Ktoré číslo mohol Pavol napísať? Určte všetky m
• Z5–I–6 MO 2017
  Na stole ležalo osem kartičiek s číslami 2,3,5,7,11,13,17,19. Fero si vybral tri kartičky. Sčítal na nich napísané čísla a zistil, že ich súčet je o 1 väčší ako súčet čísel na zvyšných kartičkách. Ktoré kartičky mohli zostať na stole? Určte všetky možnost
• MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
  Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane na
• Výstava
  Pani učiteľka zaplatila 280Kč za žiakov 4.A za vstupné na výstavu. Koľko žiakov bolo na výstave?
• Obdĺžnik - kto má pravdu
  Obdĺžnik je rozdelený na 7 políčok. Na každé políčko sa má napísať práve jedno z čísel 1, 2 a 3. Mirek tvrdia, že to možno vykonať tak, aby súčet dvoch vedľa seba napísaných čísel bol zakaždým iný. Zuzka naopak tvrdia, že to možné nie je. Rozhodnite, kto
• MO B 2019 - uloha 2
  Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia.
• MO Z8 – I – 4 2018
  Na štyroch kartičkách boli štyri rôzne cifry, z ktorých jedna bola nula. Vojto z kartičiek zložil čo najväčšie štvorciferné číslo, Martin potom čo najmenšie štvorciferné číslo. Adam zapísal na tabuľu rozdiel Vojtovho a Martinovho čísla. Potom Vojto z kart
• Osemsten súčet
  Na každej stene pravidelného osemstenu je napísané jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a 8, pričom na rôznych stenách sú rôzne čísla. Pri každej steny Janko určil súčet čísla na nej napísaného s číslami troch susedných stien. Takto dostal osem súčtov, ktoré