V trojuholníku 9

V trojuholníku ABC je bod S stredom vpísanej kružnice. Obsah štvoruholníka ABCS je rovný štyrom pätinám obsahu trojuholníka ABC. Dĺžky strán trojuholníka ABC vyjadrené v centimetroch sú všetky celočíselné a obvod trojuholníka ABC je 15 cm. Určte dĺžky strán trojuholníka ABC. Nájdite všetky možnosti.

Správna odpoveď:

a =  3 cm
b =  5 cm
c =  7 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} o=15\text{cm} \\ o=a+b+c \\ a+b>c,b+c>a,c+a>b \\ (4,5,6),(3,5,7),(2,6,7),(5,5,5) \\ {S}_1=\frac{4}{5}\cdot S \\ a=3=3\text{cm} \\ b=5 \\ c=7 \\ s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}=7,5\text{cm} \\ S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}=\sqrt{7,5\cdot (7,5-3)\cdot (7,5-5)\cdot (7,5-7)}\doteq 6,4952{\text{cm}}^2 \\ r=\frac{S}{s}=\frac{6,4952}{7,5}\doteq 0,866\text{cm} \\ {S}_2=S(ABS) \\ {S}_2=\frac{a\cdot r}{2}=\frac{3\cdot 0,866}{2}\doteq 1,299{\text{cm}}^2 \\ {S}_3=S(ABCS) \\ {S}_3=S-S_2=6,4952-1,299=3\sqrt{3}{\text{cm}}^2\doteq 5,1962{\text{cm}}^2 \\ q=\frac{S_3}{S}=\frac{5,1962}{6,4952}=\frac{4}{5}=0,8 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad