MO - trojúhelníky
Na stranách AB a AC trojúhelníku ABC lěží po řadě body E a F, na úsečce EF leží bod D. Přmky EF a BC jsou rovnoběžné a součastně platí FD : DE = AE : EB = 2:1. Trojúhelník ABC má obsah 27 hektarů a úsečkami EF, AD a DB je rozdělen na čtyři části . Určete obsahy těchto čtyř částí.
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Ries.mr
Nápověda. Začněte s obsahem trojúhelníku AEF.
Přímky EF a BC jsou rovnoběžné, souhlasné úhly u vrcholů E a B, resp. u vrcholů F a C jsou shodné, trojúhelníky AEF a ABC jsou tudíž podobné. Odpovídající koeficient podobnosti je roven:
|AE| : |AB| = |AE| : (|AE| + |EB|) = 2:3
Obsahy těchto trojúhelníků jsou proto v poměru AEF : ABC =4:9
takže AEF = ABC · 4 : 9 = 12 hektarů;
Úsečka AD dělí trojúhelník AEF na dva trojúhelníky, jejichž obsahy jsou ve stejném poměru jako délky úseček FD a DE, tedy
ADF : ADE = |FD| : |DE| =2:1
Odtud plyne, že ADE = AEF : 3 = 4 hektary a ADF = 2 · ADE = 8 hektarů. Úsečka DE dělí trojúhelník ABD na dva trojúhelníky, jejichž obsahy jsou ve stejném poměru jako délky úseček AE a EB, tedy
ADE : BDE = |AE| : |EB| =2:1
Odtud plyne, že BDE = ADE : 2 = 2 hektary
Nyní známe obsahy tří ze čtyř částí trojúhelníku ABC, obsah té poslední je roven rozdílu BCFD = ABC − AEF − BDE = 13 hektarů. Obsahy částí trojúhelníku ABC v hektarech jsou:
BED = 2, AED = 4, ADF = 8, BCFD = 13
Přímky EF a BC jsou rovnoběžné, souhlasné úhly u vrcholů E a B, resp. u vrcholů F a C jsou shodné, trojúhelníky AEF a ABC jsou tudíž podobné. Odpovídající koeficient podobnosti je roven:
|AE| : |AB| = |AE| : (|AE| + |EB|) = 2:3
Obsahy těchto trojúhelníků jsou proto v poměru AEF : ABC =4:9
takže AEF = ABC · 4 : 9 = 12 hektarů;
Úsečka AD dělí trojúhelník AEF na dva trojúhelníky, jejichž obsahy jsou ve stejném poměru jako délky úseček FD a DE, tedy
ADF : ADE = |FD| : |DE| =2:1
Odtud plyne, že ADE = AEF : 3 = 4 hektary a ADF = 2 · ADE = 8 hektarů. Úsečka DE dělí trojúhelník ABD na dva trojúhelníky, jejichž obsahy jsou ve stejném poměru jako délky úseček AE a EB, tedy
ADE : BDE = |AE| : |EB| =2:1
Odtud plyne, že BDE = ADE : 2 = 2 hektary
Nyní známe obsahy tří ze čtyř částí trojúhelníku ABC, obsah té poslední je roven rozdílu BCFD = ABC − AEF − BDE = 13 hektarů. Obsahy částí trojúhelníku ABC v hektarech jsou:
BED = 2, AED = 4, ADF = 8, BCFD = 13
8 let 1 Like
Žák
Myslim ze ak strany podobnych trojuhelniku jsou v pomeru 2:3 tak obsahy jsou v druhe mocnine teda 4:9
Tipy na související online kalkulačky
Vyzkoušejte naši kalkulačka na přepočet poměru.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálních veličin:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Z8–I–5 MO 2019
Pro osm navzájem různých bodů jako na obrázku platí, že body C, D, E leží na přímce rovnoběžné s přímkou AB, F je středem úsečky AD, G je středem úsečky AC a H je průsečíkem přímek AC a BE. Obsah trojúhelníku BCG je 12 cm² a obsah čtyřúhelníku DFHG je 8 c - Rovnostranný 81097
Čtyřúhelník ABCD je souměrný podle úhlopříčky AC. Délka AC je 12 cm, délka BC je 6 cm a vnitřní úhel u vrcholu B je pravý. na stranách AB, AD jsou dány body E, F tak, že trojúhelník ECF je rovnostranný. Určete délku úsečky EF. - Čtyřúhulník AFHD
Trojúhelník ABC je rozdělen úsečkami. Úsečky DE a AB jsou rovnoběžné. Trojúhelníky CDH, CHI, CIE, FIH mají stejný obsah a to 8 dm². Zjistěte obsah čtyřúhelníku AFHD. - Lichoběžník 21
Je dán lichoběžníku ABCD s rovnoběžnými stranami AB a CD pro bod E strany AB plati, že úsečka DE dělí lichoběžník na dvě části se stejným obsahem. Spočítej délku úsečky AE.
- MO Z9 2019 domace kolo
V trojúhelníku ABC leží bod P ve třetině úsečky AB blíže bodu A, bod R je ve třetině úsečky P B blíže bodu P a bod Q leží na úsečce BC tak, že úhly P CB a RQB jsou shodné. Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a PQC. - Trojúhelník
V trojúhelníku ABC se stranou BC délky 2 cm je bod K středem strany AB. Body L a M rozdělují stranu AC na tři shodné úsečky. Trojúhelník KLM je rovnoramenný s pravým úhlem u vrcholu K. Určete délky stran AB, AC trojúhelníku ABC. - Vzdálenosti 64804
Dán je čtverec ABCD. Na jeho úhlopříčce AC leží bod E tak, že platí vzdálenost AB je rovna vzdálenosti AE. Jaká je velikost úhlu EBC? - Z7–I–5 MO 2022
Na obrázku jsou znázorněny čtverce ABCD, EFCA, CHCE a IJHE. Body S, B, F a G jsou po řadě středy těchto čtverců. Úsečka AC je dlouhá 1 cm. Určete obsah trojúhelníku IJS. Prosím pomozte... - Podobný
Pokud trojúhelník ABC ~ (podobný) trojúhelníku XYZ, AC = 24, AB = 15, BC = 17 a XY = 9, jaký je obvod trojúhelníku XYZ? Zaokrouhlete všechny strany na 1 desetinné místo.
- Mo z9 2022 čtverce
Vrcholy čtverce ABCD spojuje lomená čára DEFGHB. Menší úhly u vrcholů E, F, G, H jsou pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB po řadě měří 6 cm, 4cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určete obsah čtverce ABCD. - Střední příčka
Trojúhelník ABC je rovnostranný o straně délky 8 cm. Body D, E, F jsou postupně středy stran AB, BC, AC. Vypočtěte obsah trojúhelníku DEF. V jakém poměru je obsah trojúhelníku ABC k obsahu trojúhelníku DEF? - Katka MO
Katka narýsovala trojúhelník ABC. Střed strany AB si označila jako X a střed strany AC jako Y . Na straně BC chce najít takový bod Z, aby obsah čtyřúhelníku AXZY byl co největší. Jakou část trojúhelníku ABC může maximálně zabírat čtyřúhelník AXZY ? - Z9-I-5 MO 2017 obdélník
Uvnitř obdélníku ABCD leží body E a F tak, že úsečky EA, ED, EF, FB, FC jsou navzájem shodné. Strana AB je dlouhá 22 cm a kružnice opsaná trojúhelníku AFD má poloměr 10cm. Určete délku strany BC. - Kružnice 14683
Bod B je střed kružnice. Přímka AC se dotýká kružnic v bodě C a platí AB=20 cm a AC=16 cm. Jaký je poloměr kružnice BC?
- Kolineární 83065
Body A, B a C jsou kolineární a B leží mezi A a C. Pokud AC = 48, AB = 2x + 2 a BC = 3x + 6, jaká je délka BC? - MO Z8–I–6 2018
V lichoběžníku KLMN má základna KL velikost 40 cm a základna MN má velikost 16 cm. Bod P leží na úsečce KL tak, že úsečka NP rozděluje lichoběžník na dvě části se stejnými obsahy. Určete velikost úsečky KP. - Trojúhelníku 81737
V trojúhelníku ABC určete souřadnice bodu B, pokud víte, že body A, B leží na přímce 3x-y-5=0, body A, C leží na přímce 2x+3y+4=0, bod C leží na souřadnicové ose x a úhel u vrcholu C je pravý.