Rovnostranný 81097

Čtyřúhelník ABCD je souměrný podle úhlopříčky AC. Délka AC je 12 cm, délka BC je 6 cm a vnitřní úhel u vrcholu B je pravý. na stranách AB, AD jsou dány body E, F tak, že trojúhelník ECF je rovnostranný. Určete délku úsečky EF.

Správná odpověď:

EF =  6,9282 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} AC=12\text{cm} \\ BC=6\text{cm} \\ AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}\text{cm}\doteq 10,3923\text{cm} \\ AD=AB=10,3923=6\sqrt{3}\text{cm}\doteq 10,3923\text{cm} \\ \angle ACD=\frac{180°}{\pi }\cdot \arcsin (AB/AC)=\frac{180°}{\pi }\cdot \arcsin (10,3923/12)=60{}^{\circ } \\ EF=EC=CF \\ \angle FCE=60{}^{\circ } \\ \angle FEC=\angle EFC=\angle FCE=60{}^{\circ } \\ \angle ECB=\angle ACD-\angle FCE/2=60-60/2=30{}^{\circ } \\ \cos ECB=BC:CE \\ CE=BC/\cos ECB=BC/\cos 29,999999999997°=6/\cos 29,999999999997°=6/0,866025=6,9282\text{cm} \\ EF=CE=6,9282=4\sqrt{3}=6,9282\text{cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad