Z8–I–5 MO 2019

Pro osm navzájem různých bodů jako na obrázku platí, že body C, D, E leží na přímce rovnoběžné s přímkou AB, F je středem úsečky AD, G je středem úsečky AC a H je průsečíkem přímek AC a BE. Obsah trojúhelníku BCG je 12 cm² a obsah čtyřúhelníku DFHG je 8 cm²

Určete obsahy trojúhelníků AFE, AHF, ABG a BGH.

Správná odpověď:

S₁ =  12 cm²
S₂ =  12 cm²
S₃ =  4 cm²
S₄ =  4 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S(BCG)=12{\text{cm}}^2 \\ S(DFHG)=8{\text{cm}}^2 \\ S=\frac{av}{2} \\ {S}_1=S(AFE)=S(BCG) \\ {S}_1=12=12{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_2=S(ABG)=S(BCG)=S_1 \\ {S}_2=S_1=12=12{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S(ABD)=2\cdot S(BCG)=2\cdot 12=24 \\ {S}_3=S(AHF)=S(ABD)-S(DFHG)-S(ABG) \\ {S}_3=24-8-12=4{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_4=S(BGH)=S(AHF) \\ {S}_4=S_3=4=4{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad