MO - trojuholníky

Na stranách AB a AC trojuholníka ABC leží postupne body E a F, na úsečke EF leží bod D. Přímky EF a BC sú rovnobežné a súčasne platí FD:DE = AE:EB = 2:1. Trojuholník ABC má obsah 27 hektárov a úsečkami EF, AD a DB je rozdelený na štyri časti. Určite obsahy týchto štyroch častí.

Správna odpoveď:

Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.

Zobrazujem 2 komentáre:

Žiak

Viete napísať postup riešenia ? :)

9 rokov Like

Mo-radce

Nápoveda. Začnite s obsahom trojuholníka AEF.

Priamky EF a BC sú rovnobežné, súhlasné uhly pri vrcholoch E a B, resp. u vrcholov F a C sú zhodné, trojuholníky AEF a ABC sú teda podobné. Zodpovedajúce koeficient podobnosti je rovný:

|AE| : |AB| = |AE| : (|AE| + |EB|) = 2:3

Obsahy týchto trojuholníkov sú preto v pomere AEF: ABC = 4:9

takže AEF = ABC · 4:9 = 12 hektárov;

Úsečka AD delí trojuholník AEF na dva trojuholníky, ktorých obsahy sú v rovnakom pomere ako dĺžky úsečiek FD a DE, teda

ADF: ADE = |FD| : |DE| = 2:1

Odtiaľ vyplýva, že ADE = AEF:3 = 4 hektáre a ADF = 2 · ADE = 8 hektárov. Úsečka DE delí trojuholník ABD na dva trojuholníky, ktorých obsahy sú v rovnakom pomere ako dĺžky úsečiek AE a EB, teda

ADE: BDE = |AE| : |EB| = 2:1

Odtiaľ vyplýva, že BDE = ADE: 2 = 2 hektáre

Teraz poznáme obsahy troch zo štyroch častí trojuholníka ABC, obsah tej poslednej je rovný rozdielu BCFD = ABC - AEF - BDE = 13 hektárov. Obsahy častí trojuholníka ABC v hektároch sú:

BED = 2, AED = 4, ADF = 8, BCFD = 13.

9 rokov 1 Like Like