Derivační problém

Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jestliže:
a) Součet jejich třetích mocnin je minimální.
b) Součin jednoho s třetí mocninou druhého je maximální.
c) Obě jsou kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého je maximální.

Správná odpověď:

a₁ =  6
b₁ =  6
a₂ =  3
b₂ =  9
a₃ =  4
b₃ =  8

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a+b=12 \\ y=\min (a^3+b^3) \\ y=\min (a^3+(12-a{)}^3) \\ {f}^{\prime }=3a^2-3(12-a{)}^2 \\ {f}^{\prime }=0 \\ 3\cdot x^2-3\cdot (12-x{)}^2=0 \\ 72x=432 \\ x=\frac{432}{72}=6 \\ x=6 \\ {a}_1=6 \end{gathered}$$

$b_1=12-a_1=12-6=6$

$$\begin{gathered} f_2=a\cdot b^3 \\ {f}_2=a\cdot (12-a{)}^3 \\ {f}_2^{\prime }(a)=d/da(a(12-a{)}^3)=-4(a-3)(12-a{)}^2 \\ {f}_2^{\prime }(a)=0 \\ {m}_1=3 \\ {m}_2=12 \\ {m}_3=12 \\ {f}_{21}=m_1\cdot (12-m_1{)}^3=3\cdot (12-3{)}^3=2187 \\ {f}_{22}=m_2\cdot (12-m_2{)}^3=12\cdot (12-12{)}^3=0 \\ {a}_2=m_1=3 \end{gathered}$$

$b_2=12-a_2=12-3=9$

f3​ = a⋅ b2 f3​ = a⋅ (12−a)2 f3′​(a) = d/da(a (12 − a)2) =  3 (a2 − 16 a + 48)  f3′​(a)  =0  3(z2−16z+48)=0  3(z2−16 z+48)=0 3z2−48z+144=0 3 ...  prvocˇıˊslo 48=24⋅3 144=24⋅32 NSD(3,48,144)=3  z2−16z+48=0  a=1;b=−16;c=48 D=b2−4ac=162−4⋅1⋅48=64 D>0  z1,2​=2a−b±D​​=216±64​​ z1,2​=216±8​ z1,2​=8±4 z1​=12 z2​=4  f31​=z1​⋅ (12−z1​)2=12⋅ (12−12)2=0 f32​=z2​⋅ (12−z2​)2=4⋅ (12−4)2=256  a3​=z2​=4

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$b_3=12-a_3=12-4=8$

Zkusit jiný příklad