Derivačný príklad

Súčet dvoch čísel je 12. Nájdite tieto čísla, ak:
a) Súčet ich tretích mocnín je minimálna.
b) Súčin jedného s treťou mocninou druhého je maximálna.
c) Obe sú kladné a súčin jedného s druhou mocninou druhého je maximálna.

Správna odpoveď:

a₁ =  6
b₁ =  6
a₂ =  3
b₂ =  9
a₃ =  4
b₃ =  8

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a+b=12 \\ y=min(a^3+b^3) \\ y=min(a^3+(12-a{)}^3) \\ {f}^{\mathrm{\prime }}=3a^2-3(12-a{)}^2 \\ {f}^{\mathrm{\prime }}=0 \\ 3\cdot x^2-3\cdot (12-x{)}^2=0 \\ 72x=432 \\ x=6 \\ {a}_1=6 \end{gathered}$$

$b_1=12-a_1=12-6=6$

$$\begin{gathered} f_2=a\cdot b^3 \\ {f}_2=a\cdot (12-a{)}^3 \\ {f}_2^{\mathrm{\prime }}(a)=d\mathrm{/}da(a(12-a{)}^3)=-4(a-3)(12-a{)}^2 \\ {f}_2^{\mathrm{\prime }}(a)=0 \\ {m}_1=3 \\ {m}_2=12 \\ {m}_3=12 \\ {f}_{21}=m_1\cdot (12-m_1{)}^3=3\cdot (12-3{)}^3=2187 \\ {f}_{22}=m_2\cdot (12-m_2{)}^3=12\cdot (12-12{)}^3=0 \\ {a}_2=m_1=3 \end{gathered}$$

$b_2=12-a_2=12-3=9$

$$\begin{gathered} f_3=a\cdot b^2 \\ {f}_3=a\cdot (12-a{)}^2 \\ {f}_3^{\mathrm{\prime }}(a)=d\mathrm{/}da(a(12-a{)}^2)=3(a^2-16a+48) \\ {f}_3^{\mathrm{\prime }}(a)=0 \\ 3(z^2-16z+48)=0 \\ 3(z^2-16z+48)=0 \\ 3z^2-48z+144=0 \\ a=3;b=-48;c=144 \\ D=b^2-4ac=48^2-4\cdot 3\cdot 144=576 \\ D>0 \\ {z}_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}={\displaystyle \frac{48\pm \sqrt{576}}{6}} \\ {z}_{1,2}={\displaystyle \frac{48\pm 24}{6}} \\ {z}_{1,2}=8\pm 4 \\ {z}_1=12 \\ {z}_2=4 \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \\ 3(z-12)(z-4)=0 \\ {f}_{31}=z_1\cdot (12-z_1{)}^2=12\cdot (12-12{)}^2=0 \\ {f}_{32}=z_2\cdot (12-z_2{)}^2=4\cdot (12-4{)}^2=256 \\ {a}_3=z_2=4 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$b_3=12-a_3=12-4=8$

Skúsiť iný príklad

Súvisiace a podobné príklady:

• Súčet 38
  Súčet druhých mocnín dvoch po sebe bezprostredne nasledujúcich prirodzených čísel je 1201. Určite tieto čísla.
• Minimum
  Nájdite také kladné číslo, aby súčet tohto čísla a jeho prevrátenej hodnoty bol minimálny.
• Tri členy GP
  Súčet troch čísel v GP (geometrickej postupnosti) je 21 a súčet ich štvorcov je 189. Nájdite tieto čísla.
• Tretiu s druhou
  Máme 2 čísla. Keby sme vynásobili tretiu odmocninu prvého čísla s druhou odmocninou druhého čísla, dostali by sme číslo 18.Určte tieto 2 čísla. Ak má úloha v množine reálnych čísel nekonečne veľa riešení, vypočítajte len celočíselné riešenie.
• Rozklad
  Číslo 28 rozložte na dva sčítance tak, aby ich súčin bol maximálny.
• Súčet mocnín
  Aký je súčet všetkých prirodzených čísel menších ako 100, ktoré sú mocninou čísla 4?
• Súčin 13
  Súčin dvoch neznámych čísel sú dve stotiny. Prvé číslo je 1,25 krát väčšie ako druhé číslo. Určte obe čísla.
• Súčet dvoch čísel
  Súčet dvoch čísel je 110. Prvé číslo tvorí 900% druhého čísla. Určte obe tieto čísla.
• Súčet dvoch čísel
  Súčet dvoch čísel je 48. 12,5% z prvého čísla sa rovná presne 4.Určte obe tieto čísla.
• Rozdiel dvoch čísel
  Rozdiel dvoch čísel je 20. Sú to celé kladné čísla vačšie ako nula. Prvé číslo umocnené na jednu polovicu sa rovná druhému číslu. Určte obe čísla.
• Súčin
  Súčin dvoch po sebe idúcich nepárnych čísel je 8463. Ktoré sú to čísla?
• Mocnina
  Číslo left(sqrt(12 * sqrt[ 9 ] (12)) right) ¹⁴ možno zapísať v tvare 12^x. Nájdite hodnotu x.
• Komplexná odmocnina
  Určte súčet troch tretích odmocnín z čísla 64.
• Neznáme číslo Z
  Máme číslo. Ak vydelíme jeho štvrtú mocninu jeho druhou mocninou, dostaneme číslo 0,25. Určte toto číslo.
• Rozdiel dvoch čísel
  Rozdiel 2 čísel je 82. Prvé číslo je o 8 menšie ako druhá mocnina druhého čísla. Určte tieto čísla.
• Sum-log
  Súčet dvoch čísel je 32, súčet ich logaritmov (dekadických) je 2,2. Určite tieto čísla.
• Derivácia
  Existuje funkcia, ktorej derivácia je tá istá funkcia?