Objem

Objem pravidelného čtyřbokého hranolu je 192 cm³. Velikost jeho podstavné hrany a tělesových výšky jsou v poměru 1:3. Vypočítejte povrch hranolu.

Správná odpověď:

S =  218,9202 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} V=192{\text{cm}}^3 \\ a:d=1:3 \\ d=3a \\ V=a^2\cdot h \\ s=\sqrt{2}\cdot a \\ {h}^2=d^2-s^2=d^2-2a^2=9a^2-2a^2 \\ {h}^2=7a^2 \\ h=\sqrt{7}a \\ V=a^2\cdot h \\ V=a^2\cdot \sqrt{7}a \\ V=a^3\cdot \sqrt{7} \\ a=\sqrt[3]{V/\sqrt{7}}=\sqrt[3]{192/\sqrt{7}}\doteq 4,1711\text{cm} \\ h=\sqrt{7}\cdot a=\sqrt{7}\cdot 4,1711\doteq 11,0357\text{cm} \\ S=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot h=2\cdot 4,1711^2+4\cdot 4,1711\cdot 11,0357\doteq 218,9202{\text{cm}}^2 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {V}_2=a^2\cdot h=4,1711^2\cdot 11,0357=192{\text{cm}}^3 \\ {d}_2=\sqrt{h^2+a^2+a^2}=\sqrt{11,0357^2+4,1711^2+4,1711^2}\doteq 12,5133\text{cm} \\ {k}_2=d_2/a=12,5133/4,1711=3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad