Z9 – I – 5 MO 2018

Adam a Eva vytvářeli dekorace z navzájem shodných bílých kruhů. Adam použil čtyři kruhy, které sestavil tak, že se každý dotýkal dvou jiných kruhů. Mezi ně pak vložil jiný kruh, který se dotýkal všech čtyř bílých kruhů, a ten vybarvil červeně. Eva použila
tři kruhy, které sestavila tak, že se dotýkaly navzájem. Mezi ně pak vložila jiný kruh, který se dotýkal všech tří bílých kruhů, a ten vybarvila zeleně.

Eva si všimla, že její zelený kruh a Adamův červený kruh jsou různě velké, a začali společně zjišťovat, jak se liší.

Vyjádřete poloměry červeného a zeleného kruhu obecně pomocí poloměru bílých kruhů.

Výsledek

r1 = (Správná odpověď je: (sqrt(2)-1) * r) Nesprávné
r2 = (Správná odpověď je: r( fr(2,3) * sqrt(3) - 1)) Nesprávné

Postup správného řešení:

(2r)2+(2r)2=(r+2r1+r)2 4r2+4r2=(2r+2r1)2 8r2=(2r+2r1)2 r8=2r+2r1  r1=(21) r
a=2r h=3/2 a=3 r 2/3 h=r+r2  r2=2/3 3 rr r2=r(32 31)



Našel si chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 24 komentářů:
#
Uzivatelka
a) - střed malé kružnice leží na úhlopříčce čtverce se stranou 2r
b) - střed malé kružnice lezi v rovnostranném trojúhelníku se stranou 2r v jeho těžišti ... těžnice = vyska. Těžiště leží v 2/3 délky těžnice (nebo v 1/3 délky těžnice)

3 roky  3 Likes
#
Žák
Snad průměry, poloměr je 2x

3 roky  1 Like
#
Žák
je to zle
alebo nespravne napisane

3 roky  1 Like
#
Dr Math
ano, cerveny kruh je 2r1 , opravili jsme, dekujeme

3 roky  1 Like
#
Žák
u toho výpočtu r1- po úpravě rovnice mi nevyjde r.(odmocnina ze dvou - 1), protoze  v rovnici vyjde 2r1, tudiz abychom dostali r1, tak musime celou rovnici vydelit 2, tedy odmocnina z 8 děleno 2 neni odmocnina ze 2, ale ze 4, takze vysledek je r1=r.(odmocnina ze 4 - 1)

#
Dr Math
ale r1 je spravne r1 = (sqrt(2)-1) * r ; mate tam pane Zaku chybu... kdyz uz odmocnina ze 4 je 2 napr. 2+1=3 a to by bylo velice lehke reseni

#
Žák
ale abych dostal odmocninu ze 2 tak bych musel celou rovnici vydelit 4 takze bych dostal r1/4

#
Dr Math
sqrt(8)/2 = sqrt(8/4) = sqrt(2)

#
Žák
jasne uz to chapu, dekuji

#
Žák
Nemá to být obecně??

#
Dr Math
ved to je obecne...

#
Žák
Co znamená h? Výška? A čeho?

#
Dr Math
h = vyska rovnostranneho trojuhelnika se stranou a...

#
Žák
Jestli mužu poprosit tohle není uloha 5 ale 6 máte špatně napsanou ulohu

#
Žák
Je to úloha 5

#
Žák
Nepopsal by to někdo slovy?

#
Propadám Panice
Mě to vyšlo úplně jinak. (nevím, jak se píšou odmocniny na počítači, tak to napíšu slovně.)
a) (odmocnina z 2 x 2r - 2r) : 2
b) (odmocnina z 3 x r) : 9

#
Žák
Tuto úlohu vůbec nepobírám a jak se zdá tak nejsem sám.

3 roky  1 Like
#
Žák
Vážně, mohl by to tady někdo popsat co se má dělat, je to tam jenom v rovniích a z toho to nepochopím

3 roky  1 Like
#
Řešitelka
Propadám Panice:
To a) máš dobře, jen to úprav do základního tvaru (vytýkání)

#
Pomoc
Tak to vůbec nechápu.. ještě jsme se tohle neučili

#
Žák
Zejtra to musím odevzdat a vůbec nevim co a jak.

#
Žák
taky to mám zítra odevzdat a nevím

#
Dr Math
Ulohy matematickej olympiady preci nejsou povinne a neni hanba nevyresit, ...

avatar







Tipy na související online kalkulačky
Pythagorova věta je základ výpočtů kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

 
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1   video2

Související a podobné příklady: