C – I – 3 MO 2018
Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2.
Dokažte, že platí nerovnost:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokažte, že platí nerovnost:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Dr Math
Návodné a doplňující úlohy:
N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]
N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]
D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]
D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]
D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]
D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]
N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]
N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]
D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]
D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]
D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]
D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]
Žák
A co tohle jestli a, b, c jsou kladná reálná čísla a ab + bc + ca = 1 najděte hodnotu tohoto výrazu (b2+1) /a+b + b (c2+1) /b+c + c (a2+1) /c+a?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Energetickou 81620
Energie se měří pomocí jednotky Joule (J). Teplota se měří pomocí jednotky stupně Celsia °C). Ke zvýšení teploty 1 litru vody o 1°C je zapotřebí 4200 J tepelné energie. (a) Kelly chce zvýšit teplotu 2 litrů vody z 25°C na 100°C. (1) Najděte množství potře - Jistič
Elektrický jistič vypíná automaticky obvod elektrické sítě 220 V při proudu 6 A. Určete největší výkon v jištěném obvodu - Vláknem
Vláknem žárovky o odporu 400 ohmů procházel proud 500 mA. Jaká je spotřeba žárovky za 5 hodin? - Jak velký 3
Jak velký odpor je potřebné připojit paralelně k odporu 1 ohmu, aby celkový odpor byl 0,6 ohmu?
- Tři stejné
Tři stejné rezistory zapojené seriově mají celkový odpor 9 ohmu. Jaký bude jejich celkový odpor při paralelním zapojení? - Topná
Topná spirála vařiče má odpor 70,5 ohmu a je zhotovená z drátu o průměru 0,30 mm dlouhého 9,8 m. Určete rezistivitu materiálu, ze kterého je zhotoven. - V obvodu 2
V obvodu, jsou zapojeny 2 rezistory a prochází jím proud 350 mA. Mezi svorkami prvního rezistoru jsme voltmetrem naměřili napětí 7 V a mezi svorkami druhého rezistoru 10,5 V. Tvým úkolem je nahradit tyto rezistory jedním rezistorem tak, aby zvenku nebyl p - Do obvodu
Do obvodu zapojíme 9V baterii, 2 žárovky paralelně a spínač. První žárovkou prochází po sepnutí spínače proud 0,5 A a nerozvětvenou částí obvodu proud 8 A. Zapojení zakreslete a vypočítejte poměr větví I1 : I2 a poměr odporů žárovek. - Paralelně R+3R
Do obvodu jsme paralelně zapojili dva rezistory, přičemž první má třikrát větší odpor než druhý. Napětí mezi svorkami každého rezistoru je 6 V. Vypočti, jaký proud prochází každou větví, když výsledný odpor obou rezistorů je 15 ohmů.
- Elektrického 71254
Ocelové vodiče dálkového vedení elektrického proudu mají průřez 5 cm². Vypočítej odpor ocelového vodiče o délce 2 km, pokud rezistivita oceli je 13*10-8 Ω·m. - Určete 32
Určete proud procházející startérem automobilu, jehož odpor je 60 miliohmů při napětí 12V - Telefonní 5
Telefonní sluchátko má odpor 4000 ohmů. Vypočtěte na jaké napětí je připojeno prochází-li jim proud 2,5mA. - Kirchhoffův zákon
Při napětí 2,5V prochází přes rezistor proud I1= 20mA. Jaké bude napětí na koncích rezistoru, když jím bude procházet proud I2=1,2A? - Ochlazení 58091
Měděný vodič má při teplotě 36°C odpor 2,8Ω. Jakou hodnotu odporu bude mít po ochlazení na -22 °C?
- Spirálou
Spirálou elektrického vařiče prochází při napětí 220 V proud 4,4 A Jaký je odpor spirály? - Manganin
Jak dlouhý musí být vodič z manganinu o průměru 0,8mm, aby měl hodnotu 10Ω? - Směrovka
K jakému elektrickému napětí je připojena žárovka směrového světla s odporem 7400 mΩ, pokud jí prochází proud 1,6 A?