Součet 41

Součet prvních dvou členů klesající geometrické posloupnosti je pět čtvrtin a součet z ní vytvořené nekonečné geometrické řady je devět čtvrtin. Napište prvé tři členy geometrické posloupnosti.

Správná odpověď:

g₁ =  3/4
g₂ =  1/2
g₃ =  1/3 = 1:3
G₁ =  3,75
G₂ =  -5/2
G₃ =  5/3 = 5:3

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} g_1+g_2=\frac{5}{4} \\ s=\frac{9}{4}=2,25 \\ {g}_1+q\cdot g_1=\frac{5}{4} \\ s=\frac{g_1}{1-q} \\ {g}_1+q\cdot g_1=5/4 \\ 9/4\cdot (1-q)=g_1 \\ {g}_1(1+q)=5/4 \\ 9/4\cdot (1-q)=g_1 \\ 9/4\cdot (1-q)\cdot (1+q)=5/4 \\ 9\cdot (1-x)\cdot (1+x)=5 \\ 9\cdot (1-x)\cdot (1+x)=5 \\ -9x^2+4=0 \\ 9x^2-4=0 \\ {x}_{1,2}=\pm \sqrt{4/9}=\pm 0,666666667 \\ {x}_1=0,666666667 \\ {x}_2=-0,666666667 \\ |q|<1 \\ q=x_1=0,6667=\frac{2}{3}\doteq 0,6667 \\ {g}_1=s\cdot (1-q)=2,25\cdot (1-0,6667)=\frac{3}{4}=0,75 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$g_2=q\cdot g_1=0,6667\cdot 0,75=\frac{1}{2}=0,5$

$g_3=q\cdot g_2=0,6667\cdot 0,5=\frac{1}{3}\doteq 0,3333=1:3$

$$\begin{gathered} Q=x_2=(-0,6667)=-\frac{2}{3}\doteq -0,6667 \\ {G}_1=s\cdot (1-Q)=2,25\cdot (1-(-0,6667))=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}=3,75 \end{gathered}$$

$G_2=Q\cdot G_1=(-0,6667)\cdot 3,75=-\frac{5}{2}=-2\frac{1}{2}=-2,5$

$G_3=Q\cdot G_2=(-0,6667)\cdot (-2,5)=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}\doteq 1,6667=5:3$

Zkusit jiný příklad