Úsečky 3

Zo zadaných dĺžok možno vytvoriť tieto trojice:

3 - 5 - 7          3 - 5 - 9             3 - 5 - 11
3 - 7 - 9          3 -7 -11
3 - 9 - 11
5 - 7 - 9          5 - 7 - 11
5 - 9 - 11
7 - 9 - 11

Vieme, že pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť: súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany, teda, trojuholník možno zostaviť z týchto trojíc:

3 - 5 - 7
3 - 7 - 9            3 - 9 - 11
5 - 7 - 9            5 - 7 - 11
5 - 9 - 11
7 -  9 - 11

A nemožno zostrojiť z: 3 - 5 - 9; 3 - 5 - 11 a 3 - 7 - 11

Ak teda A = k/n, tak v našom prípade je k (počet priaznivých možností) 7 a n = 10 (počet všetkých možných trojíc).

Pre prehľadnosť si vypíšeme všetky možné trojice a overíme, či spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť:

1. 3, 5, 7
- 3 + 5 > 7 → 8 > 7 (áno)
- 3 + 7 > 5 → 10 > 5 (áno)
- 5 + 7 > 3 → 12 > 3 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

2. 3, 5, 9
- 3 + 5 > 9 → 8 > 9 (nie)
Nie je možné zostrojiť trojuholník.

3. 3, 5, 11
- 3 + 5 > 11 → 8 > 11 (nie)
Nie je možné zostrojiť trojuholník.

4. 3, 7, 9
- 3 + 7 > 9 → 10 > 9 (áno)
- 3 + 9 > 7 → 12 > 7 (áno)
- 7 + 9 > 3 → 16 > 3 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

5. 3, 7, 11
- 3 + 7 > 11 → 10 > 11 (nie)
Nie je možné zostrojiť trojuholník.

6. 3, 9, 11
- 3 + 9 > 11 → 12 > 11 (áno)
- 3 + 11 > 9 → 14 > 9 (áno)
- 9 + 11 > 3 → 20 > 3 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

7. 5, 7, 9
- 5 + 7 > 9 → 12 > 9 (áno)
- 5 + 9 > 7 → 14 > 7 (áno)
- 7 + 9 > 5 → 16 > 5 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

8. 5, 7, 11
- 5 + 7 > 11 → 12 > 11 (áno)
- 5 + 11 > 7 → 16 > 7 (áno)
- 7 + 11 > 5 → 18 > 5 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

9. 5, 9, 11
- 5 + 9 > 11 → 14 > 11 (áno)
- 5 + 11 > 9 → 16 > 9 (áno)
- 9 + 11 > 5 → 20 > 5 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

10. 7, 9, 11
- 7 + 9 > 11 → 16 > 11 (áno)
- 7 + 11 > 9 → 18 > 9 (áno)
- 9 + 11 > 7 → 20 > 7 (áno)
Možno zostrojiť trojuholník.

Z 10 možných trojíc ich 7 spĺňa trojuholníkovú nerovnosť, a teda je možné z nich zostrojiť trojuholník.

Pravdepodobnosť P je teda:



Pravdepodobnosť, že pri náhodnom výbere trojice úsečiek je možné zostrojiť trojuholník, je 710 alebo 70 %.