MO Z9–I–1 2017

Vekový priemer všetkých ľudí na oslave bol rovný počtu prítomných. Po odchode jednej osoby, ktorej bolo 29 rokov, bol vekový priemer zase rovný počtu prítomných. Koľko ľudí bolo pôvodne na oslave?

Správny výsledok:

n =  15

Riešenie:

$$\begin{gathered} s\mathrm{/}n=n \\ s=n^2 \\ (s-29)\mathrm{/}(n-1)=n-1 \\ {n}^2-29=(n-1{)}^2 \\ {n}^2-29=n^2-2n+1 \\ -29=-2n+1 \\ 2n=30 \\ n=30\mathrm{/}2=15 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 11 komentárov:

Dr Math

Originálne zadanie tejto MO úlohy:

Vekový priemer všetkých ľudí, ktorí sa zišli na rodinnej oslave, bol rovný počtu prítomných. Teta Beta, ktorá mala 29 rokov, sa vzápätí ospravedlnila a odišla. Aj po odchode tety Bety bol vekový priemer všetkých prítomných ľudí rovný ich počtu. Koľko ľudí bolo pôvodne na oslave? (Libuše Hozová)

3 roky  Like

Žiak

dalo by sa to vysvetlit aj slovami?

3 roky  Like

Dr Math

s = sucet rokov vsetkych ludi, n = pocet ludi. Vedie to na sustavu dvoch rovnic , kvadratickych o 2 neznamych s,n.... ale z nich vypadne n² , a ostane lahka linearna rovnica

3 roky  1 Like Like

Žiak

vdaka

3 roky  Like

Žiak

nechápem tie dva prostredné riadky. dalo by sa to vysvetlit?

3 roky  Like

Žiak

Nemôžem pochopiť riadok kde píše:
n2 - 29 = ( n - 1 )2

3 roky  Like

Dr Math

to dostaneme tak ze riadok c.3 - rovnicu - obe strany  vynasobime clenom (n-1), a v podstate dostaneme kvazikvadraticku rovnicu, ale n² vypadne.

3 roky  Like

Žiak

Vysvetlite mi prosím zmenu zo 4. riadku na 5.. Ďakujem.

3 roky  Like

Dr Math

4 -> 5 je len umocnenie dvojclena na prave strane, odcitanie z oboch stran rovnice n² a na lavu stranu scitane/odcitane clena s n,

Asi pridame podrobnejsi postup ;)

https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/riesenie-sustavy-linearnych-rovnic?input=n%5E2+-+29+%3D+%28n-1%29%5E2&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj

3 roky  Like

Žiak

a neda sa to cele vysvetlit proste slovami? myslim bez rovnice, iba uvahou

3 roky  Like

Dr Math

uvahou by to snad slo tak ze skusis ist od n=1 po n= xxx a pri n=15 zistis ze to vyhovuje zadaniu. Staci poiterovat. Ale pozor:) keby je celkovy priemer nie prirodzene cislo, tak touto metodou clovek nic nevypocita.

Pri n=15 ma byt vekovy priemer tiez 15. Co cini sucet vekov = 15*15 = 225. Ak odide 29 rocna osoba, je sucet vekov 225-29 = 196. Pocet osob je 15-1 = 14. 196/14 = 14

3 roky  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Rad
  Vašou úlohou je vyjadriť súčet nasledujúceho aritmetického radu pre n = 14: S(n) = 11 + 13 + 15 + 17 + ... + 2n+9 + 2n+11
• MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
  Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu o jeden dukát
• Vystrihol som obdĺžniky
  Vystrihol som si dva obdĺžniky s obsahmi 54 cm², 90 cm². Ich strany sú vyjadrene celými číslami v centimetroch. Ak tieto obdĺžniky priložím k sebe, dostanem obdĺžnik s obsahom 144 cm². Aké rozmery môže mat tento veľký obdĺžnik? Napíš všetky možnosti. Svoj
• MO - bikvadrát
  Nájdite najväčšie prirodzené číslo d, ktoré má tú vlastnosť, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n je hodnota výrazu V(n)=n⁴+11n²−12 deliteľná číslom d.
• Milan 4
  Milan zistil, že celkom 28-mimi rôznymi spôsobmi si môže obliecť nohavice a tričko. Koľko môže mať tričiek a nohavíc? Vypíš všetky možnosti.
• Na jednej
  Na jednej malej škole na Morave pracuje spolu 10 učiteľov. Mesačný plat každého z nich je 21 500 CZK alebo 21 800 CZK alebo 22 500 CZK podľa ich vzdelania a veku. Priemerný mesačný plat učiteľa tejto školy je 21 850 CZK. Koľko učiteľov tejto školy zarobí
• Dokážte 2
  Dokážte, že postupnosť { 3 – 4. n } od n=1 po ∞ je klesajúca.
• MO C-I-1 2019
  Nájdite všetky štvorciferné čísla abcd s ciferným súčtom 12 také, že ab-cd=1
• Deliteľe
  Koľko rôznych deliteľov má číslo ??
• Alej 3
  V aleji zostali 4 stromy medzi ktorými sú vzdialenosti 35m,15m a 95m. Do medzier maju byť nasadené stromy, tak aby vzdialenosť bola rovnaká a maximálna. Koľko stromov nasadia a aká bude vzdialenosť medzi nimi?
• MO 2019 Z8–I–4
  Pre päticu celých čísel platí, že keď k prvému pripočítame jednotku, druhé umocníme na druhú, od tretieho odčítame trojku, štvrté vynásobíme štyrmi a piate vydelíme piatimi, dostaneme zakaždým ten istý výsledok. Nájdite všetky také pätice čísel, ktorých s
• MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
  Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane na
• Cukríky MO Z6-I-5 2017
  V plechovke boli červené a zelené cukríky. Cyril zjedol 2/5 všetkých červených cukríkov a Zuzka zjedla 3/5 všetkých zelených cukríkov. Teraz tvoria červené cukríky 3/8 všetkých cukríkov v plechovke. Koľko najmenej cukríkov mohlo byť pôvodne v plechovke?
• MO 2019 Z9–I–5
  Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Majka
• Úžasné číslo
  Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.
• Postupnosť
  Zapíšte prvých 6 členov tejto postupnosti: a₁ = 5 a₂ = 7 a_n+2 = a_n+1 +2 a_n
• Ceruzky
  600 ceruziek máme rozdeliť na tri kopy. V najväčšej kope je o 10 ceruziek viac ako v najmenšej. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?