V orchestri

V školskom orchestri hrajú štyria hudobníci – jeden na husle, jeden na klarinet, jeden na violončelo a jeden na trúbku. Počas vystúpenia nie vždy hrajú všetci štyria naraz. Niekedy hrá iba jeden nástroj, niekedy dva, niekedy tri a niekedy všetky štyri. Na úvod školského roka si vymysleli vystúpenie, v ktorom najprv zahral každý sám ako sólista, potom všetky dvojice, všetky trojice a nakoniec všetci štyria spolu. Všetky zoskupenia hrali presne minútu. Ako dlho trvalo ich vystúpenie?

Správna odpoveď:

t =  15 min

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} C_2(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6 \\ {C}_3(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4}{1}=4 \\ {C}_4(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=\frac{4!}{4!(4-4)!}=\frac{1}{1}=1 \\ t=1\cdot (4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}))=1\cdot (4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4})+1)=15\text{min} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad