Kužel s průměrem

Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60cm a boční stranou délky 0,5m je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvář válce o poloměru 3dm a výšce 20cm. Bude válec přetékat, nebo naopak nebude plný? Vypočítejte kolik vody přeteče, nebo naopak se bude muset dolít.

Správná odpověď:

V₁ =  37699,1118 cm³
V₂ =  56548,6678 cm³
x =  -18849,5559 cm³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} D=60\text{cm} \\ s=0,50\text{m}\to \text{cm}=0,50\cdot 100\text{cm}=50\text{cm} \\ {r}_1=D/2=60/2=30\text{cm} \\ h=\sqrt{s^2-r_1^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\text{cm} \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 30^2\cdot 40=37699,1118{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} r_2=3\text{dm}\to \text{cm}=3\cdot 10\text{cm}=30\text{cm} \\ {h}_2=20\text{cm} \\ {V}_2=\pi \cdot r_2^2\cdot h_2=3,1416\cdot 30^2\cdot 20=56548,6678{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

$x=V_1-V_2=\frac{5730265}{152}-\frac{17190795}{304}=\frac{11460530}{304}-\frac{17190795}{304}=\frac{11460530-17190795}{304}=\frac{-5730265}{304}=-18849,5559{\text{cm}}^3$

Zkusit jiný příklad