Pytagoriáda

Piataci soutěží ve dvou matematických soutěžích - v matematické olympiádě a v Pytagoriáde. Z 33 žáků 5.A třídy soutěžilo alespoň v jedné ze soutěži 22 žáků. Žáků, kteří soutěžili pouze v Pytagoriáde, bylo dvakrát více, než těch, co soutěžili pouze v matematické olympiádě. Žáků, kteří soutěžili v obou soutěžích, bylo 4-krát více, než těch, co soutěžili pouze v Pytagoriáde.

a) Kolik žáků soutěžilo současně v obou soutěžích?
b) Kolik žáků soutěžilo právě v jedné soutěži?
c) Kolik žáků soutěžilo nejvíce v jedné soutěži?

Správná odpověď:

a =  16
b =  6
c =  17

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} p+a+o=22 \\ p=2o \\ a=4p \\ p=2\cdot o \\ a=4\cdot p \\ a+o+p=22 \\ 2o-p=0 \\ a-4p=0 \\ \check{R}\acute{a}dek3-\check{R}\acute{a}dek1\to \check{R}\acute{a}dek3 \\ -o-5p=-22 \\ \check{R}\acute{a}dek3-\frac{-1}{2}\cdot \check{R}\acute{a}dek2\to \check{R}\acute{a}dek3 \\ -5,5p=-22 \\ p=\frac{-22}{-5,5}=4 \\ o=\frac{0+p}{2}=\frac{0+4}{2}=2 \\ a=22-o-p=22-2-4=16 \\ a=16 \\ o=2 \\ p=4 \end{gathered}$$

$b=p+o=4+2=6$

$c=33-a=33-16=17$

Zkusit jiný příklad