Rozdělit řezem

Daný je kužel s poloměrem podstavy 10 cm a výšce 12 cm. V jaké výšce nad podstavou ho máme rozdělit řezem rovnoběžným s podstavou, aby objemy obou vzniklých teles byly stejné? Výsledek uveďte v cm.

Správný výsledek:

x =  2,4756 cm

Řešení:

$$\begin{gathered} r=10\text{ cm } \\ h=12\text{ cm } \\ {V}_1=\pi \cdot r^2\cdot h=3.1416\cdot 10^2\cdot 12\doteq 3769.9112{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=V_1\mathrm{/}2=3769.9112\mathrm{/}2\doteq 1884.9556{\text{cm}}^3 \\ {r}_2:h_2=r:h \\ {V}_2=\pi \cdot r_2^2\cdot h_2 \\ {V}_2=\pi \cdot (r\mathrm{/}h\cdot h_2{)}^2\cdot h_2 \\ {h}_2=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{V_2\cdot h^2}{\pi \cdot r^2}}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1884.9556\cdot 12^2}{3.1416\cdot 10^2}}}\doteq 9.5244\text{ cm } \\ x=h-h_2=12-9.5244\doteq 2.4756=2.4756\text{ cm } \\ \text{ Zkou}\check{\text{s}}\text{ka spr}\acute{\text{a}}\text{vnosti: } \\ {r}_2=r\mathrm{/}h\cdot h_2=10\mathrm{/}12\cdot 9.5244\doteq 7.937\text{ cm } \\ {V}_{22}=\pi \cdot r_2^2\cdot h_2=3.1416\cdot 7.937^2\cdot 9.5244\doteq 1884.9556{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad

Zobrazuji 0 komentářů:

Další podobné příklady a úkoly:

• Komolý jehlan
  Vypočtěte objem pravidelného šestibokého komolého jehlanu, jestliže je délka hrany dolní podstavy 30 cm, horní podstavy 12 cm a pokud délka boční hrany je 41 cm.
• Miško
  Miško vymodeloval z plastelíny 15 cm vysoký jehlan s obdélníkovou podstavou se stranami podstavy a = 12 cm a b = 8 cm. Janka z tohoto jehlanu vymodelovala rotační kužel s průměrem podstavy d = 10 cm. Jakou výšku měl Jankin kužel?
• Komolý kužel
  Vypočtěte objem a povrch komolého kužele, pokud r1 = 12 cm, r2 = 5 cm a strana s = 10 cm.
• Kužel
  Rotační kužel o výšce 15 cm a objemu 10598 cm³ je ve třetině výšky (měřeno zespoda) rozříznut rovinou rovnoběžnou s podstavou. Určete poloměr a obvod kruhovéh řezu.
• 2x kužel
  Rotační kužel o výšce 76 cm byl rozříznut rovinou rovnoběžnou s podstavou tak, že vznikl menší rotační kužel a komolý rotační kužel. Objem těchto dvou těles je stejný. Určete výšku menšího kužele.
• Jsou podobné
  Trojúhelníky ABC a XYZ jsou podobné. Zjisti chybějící délky stran trojúhelníků. a) a = 5 cm b = 8 cm x = 7,5 cm z = 9 cm b) a = 9 cm c = 12 cm y = 10 cm z = 8 cm c) b = 4 cm c = 8 cm x = 4,5 cm z = 6 cm
• Na dvě části
  Pravidelný jehlan se čtvercovou podstavou rozřízneme rovinou rovnoběžnou s podstavou na dvě části (viz obrázek). Objem vzniklého menšího jehlanu tvoří 20% objemu původního jehlanu. Podstava vzniklého menšího jehlanu má obsah 10 cm². Určete v centimetrech
• Přeřízneme jehlan
  Pravidelný čtyřboký jehlan má výšku 40 cm a stranu podstavy 21 cm. Jehlan přeřízneme v poloviční výšce. Jak velký objem budou mít obě části?
• Komolý kužel
  Výška kužele je 7 cm a délka boční strany je 10 cm a spodní poloměr je 3 cm. Jaká by mohla být odpověď na horní poloměr komolého kužele?
• Čtyřboký komolý jehlan
  Vypočítejte povrch a objem pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, jsou-li hrany podstavy 87 cm a 64 cm a stěnová výška je 49 cm.
• Podobný trojúhelník
  Strany trojúhelníku ABC mají délky 4 cm,5 cm a 7 cm. Sestroj trojúhelník A´B´C´ podobný trojúhelníku ABC, který má obvod 12 cm.
• Vrcholy 4
  Vrcholy podstavy pravidelného šestibokého jehlanu leží na kružnici s poloměrem 10cm. Výška jehlanu je 12cm. Jaký je jeho objem?
• Nádoba - kužel
  Uzavřená nádoba ve tvaru kužele stojící na své podstavě je naplněna vodou tak, že hladina se nachází 8 cm od vrcholu. Po otočení nádoby o 180 stupňů – stojí na vrcholu – je hladina vzdálena 2 cm od podstavy. Jak vysoká nádoba je?
• Podobnost
  Obdelník ABCD má rozměry 7 cm a 6 cm. Obdelník PQRS má rozměry 14 cm a 12 cm. Urči poměr podobnosti k týchto obdélniku, pokud nejsou podobné vlož nulu jako poměr podobnosti.
• Komolý kužel
  Vypočtěte výšku rotačního komolého kužele, je-li dán jeho objem V=1440 cm³ a poloměry podstav r₁=6,9 cm a r₂=10 cm.
• Komolý jehlan 4
  Betonový podstavec tvaru pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu ma výšku 12 cm, podstavy hraně mají délky 2,4 a 1,6 dm. Vypočítej povrch podstavce.
• Kužel a poměr
  Rotační kužel má výšku 23 cm a poměr podstavy k plášti je 7:9. Vypočítej podstavu a plášť (obsahy).