Hranol

Objem kolmého čtyřbokého hranolu je 360 cm krychlových. Hrany podstavy a výška hranolu jsou v poměru 5:4:2. Určete obsah podstavy a stěn hranolu.

Správná odpověď:

S₁ =  86,535 cm²
S₂ =  34,614 cm²
S₃ =  43,2675 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} V=360{\text{cm}}^3 \\ a:b:c=5:4:2 \\ a:b:c=5k:4k:2k \\ V=abc=5k\cdot 4k\cdot 2k=(5\cdot 4\cdot 2)\cdot k^3 \\ k=\sqrt[3]{V/(5\cdot 4\cdot 2)}=\sqrt[3]{360/(5\cdot 4\cdot 2)}\doteq 2,0801\text{cm} \\ a=5\cdot k=5\cdot 2,0801\doteq 10,4004\text{cm} \\ b=4\cdot k=4\cdot 2,0801\doteq 8,3203\text{cm} \\ c=2\cdot k=2\cdot 2,0801\doteq 4,1602\text{cm} \\ {S}_1=a\cdot b=10,4004\cdot 8,3203=86,535{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$S_2=b\cdot c=8,3203\cdot 4,1602=34,614{\text{cm}}^2$

$$\begin{gathered} S_3=c\cdot a=4,1602\cdot 10,4004\doteq 43,2675 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {S}_3=V_2=a\cdot b\cdot c=10,4004\cdot 8,3203\cdot 4,1602=360{\text{cm}}^3=43,2675{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad