Pod koulí

Kolmý kruhový kužel s horní šířkou 24 cm a výškou 8 cm je naplněn vodou. V kuželu je ponořena kulová ocelová koule o poloměru 3,0 cm. Najděte objem vody pod koulí.

Správná odpověď:

V =  -22,3505 cm³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} D=24\text{cm} \\ h=8\text{cm} \\ r=3,0\text{cm} \\ R=D/2=24/2=12\text{cm} \\ \alpha =\mathrm{arctg}(R/h)=\mathrm{arctg}(12/8)\doteq 0,9828\text{rad} \\ \mathrm{tg}\alpha =r/s \\ s=r/\mathrm{tg}\alpha =3/\mathrm{tg}0,9828=2\text{cm} \\ \cos \alpha =h_1:s \\ \sin \alpha =r_1:s \\ {h}_1=s\cdot \cos \alpha =2\cdot \cos 0,9828\doteq 1,1094\text{cm} \\ {r}_1=s\cdot \sin \alpha =2\cdot \sin 0,9828\doteq 1,6641\text{cm} \\ \sin \alpha =r:h_3 \\ {h}_3=r\cdot \sin \alpha =3\cdot \sin 0,9828\doteq 2,4962\text{cm} \\ {h}_2=h_1-(h_3-r)=1,1094-(2,4962-3)\doteq 1,6132\text{cm} \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot h_1=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 1,6641^2\cdot 1,1094\doteq 3,2172{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=\pi \cdot (r_1^2+2\cdot r_1\cdot h_2)=3,1416\cdot (1,6641^2+2\cdot 1,6641\cdot 1,6132)\doteq 25,5677{\text{cm}}^3 \\ V=V_1-V_2=3,2172-25,5677=-22,3505{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad