Nekonečno

Do čtverce o straně délky 19 je vepsán kruh, do něho pak čtverec, do toho opět kruh atd. do nekonečna. Vypočítejte součet obsahů všech těchto čtverců.

Správná odpověď:

S =  722

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=19 \\ {S}_1=a_1^2=19^2=361 \\ {d}_1=a_1=19 \\ {d}_1=\sqrt{2}{a}_2 \\ {a}_2=d_1/\sqrt{2}=19/\sqrt{2}\doteq 13,435 \\ {S}_2=a_2^2=13,435^2=\frac{361}{2}=180\frac{1}{2}=180,5 \\ q=S_2/S_1=\frac{361}{2}/361=\frac{361}{2\cdot 361}=\frac{361}{722}=\frac{1}{2}=0,5 \\ S=S_1\cdot \frac{1}{1-q}=361\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=722 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {d}_2=a_2=13,435\doteq 13,435 \\ {d}_2=\sqrt{2}{a}_3 \\ {a}_3=d_2/\sqrt{2}=13,435/\sqrt{2}=\frac{19}{2}=9\frac{1}{2}=9,5 \\ {S}_3=a_3^2={\frac{19}{2}}^2=\frac{361}{4}=90\frac{1}{4}=90,25 \\ {q}_2=S_3/S_2=\frac{361}{4}/\frac{361}{2}=\frac{361}{4}:\frac{361}{2}=\frac{361}{4}\cdot \frac{2}{361}=\frac{361\cdot 2}{4\cdot 361}=\frac{722}{1444}=\frac{1}{2}=0,5 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad