Součet obsahů

Nád výškou rovnostranného trojúhelníku ABC je sestrojen rovnostranný trojúhelník A1, B1, C1, nad jeho výškou je sestrojen rovnostranný trojúhelník A2, B2, C2, atd. Se postup neustále opakuje. Jaký je velký součet obsahů všech trojúhelníků, pokud strana trojúhelníku ABC má délku a?

Správná odpověď:

s =  1,7321 a²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{3}/4a^2 \\ {a}_1=\sqrt{3}/2a \\ {S}_1=\sqrt{3}/4a_1^2=\sqrt{3}/4\cdot (\sqrt{3}/2a{)}^2 \\ {S}_1=3/4S \\ {S}_2=3/4S_1 \\ \dots \\ q=S_2/S_1=S_1/S=,, \\ q=\frac{3}{4}=0,75 \\ q<1 \\ s=\frac{\sqrt{3}/4}{1-q}=\frac{\sqrt{3}/4}{1-0,75}=\sqrt{3}=1,7321{\text{a}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad