Součet obsahů

Nád výškou rovnostranného trojúhelníku ABC je sestrojen rovnostranný trojúhelník A1, B1, C1, nad jeho výškou je sestrojen rovnostranný trojúhelník A2, B2, C2, atd. Se postup neustále opakuje. Jaký je velký součet obsahů všech trojúhelníků, pokud strana trojúhelníku ABC má délku a?

Správný výsledek:

s =  1,7321 a²

Řešení:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{3}\mathrm{/}4a^2 \\ {a}_1=\sqrt{3}\mathrm{/}2a \\ {S}_1=\sqrt{3}\mathrm{/}4a_1^2=\sqrt{3}\mathrm{/}4\cdot (\sqrt{3}\mathrm{/}2a{)}^2 \\ {S}_1=3\mathrm{/}4S \\ {S}_2=3\mathrm{/}4S_1 \\ \dots \\ q=S_2\mathrm{/}{S}_1=S_1\mathrm{/}S=\mathrm{.}\mathrm{.} \\ q={\displaystyle \frac{3}{4}}=0.75 \\ q<1 \\ s={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}4}{1-q}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}4}{1-0.75}}=\sqrt{3}=1.7321{\text{a}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad

Zobrazuji 0 komentářů:

Další podobné příklady a úkoly:

• Rekurze čtverce
  Do čtverce ABCD je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran čtverce ABCD. Tomu je vepsán čtverec stejným způsobem. Postup se opakuje. Délka strany čtverce ABCD je a=41 cm. Jak velký je: a) součet obvodů všech čtverců, b) součet obsahů ?
• Nekonečno
  Do čtverce o straně délky 19 je vepsán kruh, do něho pak čtverec, do toho opět kruh atd. do nekonečna. Vypočítejte součet obsahů všech těchto čtverců.
• 5 členů
  Určete součet GP 30, 6, 1,2, jen prvních 5 členů. Jaký je součet všech členů (do nekonečna)?
• Součet čtverců
  Součet čtverců nad stranami pravoúhlého trojúhelníku je 900 cm². Vypočítejte jaký je obsah čtverce nad přeponou tohoto trojúhelníku!
• AP PT trojúhelník
  Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost, delší odvěsna má 24 cm, jaký je jeho obvod a obsah?
• Zlomek
  Číslo ? zapište jako zlomek a/b, kde a je čitatel a b jmenovatel. a, b = přirozená čísla.
• Do čtverce
  Do čtverce o délce strany 1 je vepsán rovnostranný trojúhelník tak, že má se čtvercem jeden společný vrchol. Jaký je obsah vepsaného trojúhelníka?
• Abs a vektory
  Jsou dány vektory a=(4,2), b=(-2,1). Vypočítejte: a) |a+b|, b) |a|+|b|, c) |a-b|, d) |a|-|b|.
• Pravoúhly trojúhelník 9
  V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno : a=17cm, Vc=8 cm. Vypočítejte délku stran b, c, jeho obsah S, obvod o, délku poloměrů kružnic trojúhelníku opsané R a vepsané r a velikost úhlů alfa a beta.
• Podobný trojúhelník
  Trojúhelník A'B'C 'je podobný s trojúhelníkem ABC, jehož strany mají délku 5 cm, 8 cm a 7 cm. Jakou délku mají strany trojúhelníku A'B'C ', pokud jeho obvod je 80 cm?
• Pravoúhlý trojúhelník
  Pro odvěsny pravoúhlého trojúhelníku platí a:b = 7:8. Přepona má délku 88 cm. Vypočítejte obvod a obsah tohoto trojúhelníku.
• Trojúhelník KLB
  Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Z bodu L který je středem strany BC tohoto trojúhelníku, je spuštěna kolmice k na stranu AB. Průsečík kolmice k a strany AB je označen jako bod K. Kolik % z obsahu trojúhelníku ABC tvoří trojúhelník KLB?
• Sestrojený čtverce
  Na dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce. Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm². Velikost výšky vc na stranu AB je 3 cm. Pata P výšky vc dělí stranu AB v poměru 2 : 1. Strana AC je delší než strana BC. Vypočtěte v cm délku strany AB. Vy
• Lichoběžník 26
  V rovnoramenném lichoběžníku ABCD vypočítej chybějící délku strany "a" a pak jeho obsah. Strana b=d=50 cm, c=20 cm, výška=48 cm.
• Řez krychle
  Krychle A B C D A'B'C'D' má obsah řezu ACC'A' roven 64 odmocnina ze 2 cm²(čtverečných). Vypočítejte povrch krychle.
• Vypočítejte
  Vypočítejte délku strany rovnostranného trojúhelníku, jehož obsah je 50cm čtverečních.
• Zázračný strom
  Zázračný strom roste tak rychle, že se první den zvětší jeho výška o polovinu celkové výšky, druhý den o třetinu, třetí den o čtvrtinu, atd. Kolikrát se zvětší jeho výška za 6 dní?