Rekurze čtverce

Do čtverce ABCD je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran čtverce ABCD. Tomu je vepsán čtverec stejným způsobem. Postup se opakuje. Délka strany čtverce ABCD je a=5 cm. Jak velký je:

a) součet obvodů všech čtverců,
b) součet obsahů ?

Správná odpověď:

s₁ =  68,28 cm
s₂ =  50 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=5\text{cm} \\ {a}_2=\sqrt{(a_1/2{)}^2+(a_1/2{)}^2}=\sqrt{(5/2{)}^2+(5/2{)}^2}\doteq 3,5355\text{cm} \\ \dots \\ {p}_1=4\cdot a_1=4\cdot 5=20\text{cm} \\ {p}_2=4\cdot a_2=4\cdot 3,5355=10\sqrt{2}\text{cm}\doteq 14,1421\text{cm} \\ \dots \\ {q}_1=p_2/p_1=14,1421/20\doteq 0,7071 \\ {s}_1=p_1\cdot \frac{1}{1-q_1}=20\cdot \frac{1}{1-0,7071}=68,28\text{cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_1=a_1^2=5^2=25{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=a_2^2=3,5355^2=\frac{25}{2}=12,5{\text{cm}}^2 \\ \dots \\ {q}_2=S_2/S_1=12,5/25=\frac{1}{2}=0,5 \\ {s}_2=S_1\cdot \frac{1}{1-q_2}=25\cdot \frac{1}{1-0,5}=50{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad