Rekurzia štvorca

Do štvorca ABCD je vpísaný štvorec tak, že jeho vrcholy ležia v stredoch strán štvorca ABCD; tomu je vpísaný štvorec rovnakým spôsobom. Postup sa opakuje. Dĺžka strany štvorca ABCD je a = 12 cm.

Aký veľký je:
a) súčet obvodov všetkých štvorcov,
b) súčet obsahov?

Správna odpoveď:

s₁ =  163,88 cm
s₂ =  288 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a_1=12\text{cm} \\ {a}_2=\sqrt{(a_1/2{)}^2+(a_1/2{)}^2}=\sqrt{(12/2{)}^2+(12/2{)}^2}=6\sqrt{2}\text{cm}\doteq 8,4853\text{cm} \\ \dots \\ {p}_1=4\cdot a_1=4\cdot 12=48\text{cm} \\ {p}_2=4\cdot a_2=4\cdot 8,4853=24\sqrt{2}\text{cm}\doteq 33,9411\text{cm} \\ \dots \\ {q}_1=p_2/p_1=33,9411/48\doteq 0,7071 \\ {s}_1=p_1\cdot \frac{1}{1-q_1}=48\cdot \frac{1}{1-0,7071}=163,88\text{cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_1=a_1^2=12^2=144{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=a_2^2=8,4853^2=72{\text{cm}}^2 \\ \dots \\ {q}_2=S_2/S_1=72/144=\frac{1}{2}=0,5 \\ {s}_2=S_1\cdot \frac{1}{1-q_2}=144\cdot \frac{1}{1-0,5}=288{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad