Nekonečno

Do štvorca o strane dĺžky 18 je vpísaný kruh, do neho potom štvorec, do toho opäť kruh atď. do nekonečna. Vypočítajte súčet obsahov všetkých týchto štvorcov.

Správny výsledok:

S =  648

Riešenie:

$$\begin{gathered} a_1=18 \\ {S}_1=a_1^2=18^2=324 \\ {d}_1=a_1=18 \\ {d}_1=\sqrt{2}{a}_2 \\ {a}_2=d_1\mathrm{/}\sqrt{2}=18\mathrm{/}\sqrt{2}=9\sqrt{2}\doteq 12.7279 \\ {S}_2=a_2^2=12.7279^2=162 \\ q=S_2\mathrm{/}{S}_1=162\mathrm{/}324={\displaystyle \frac{1}{2}}=0.5 \\ S=S_1\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-q}}=324\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-0.5}}=648 \\ \text{ Sk}\acute{\text{u}}\check{\text{s}}\text{ka spr}\acute{\text{a}}\text{vnosti: } \\ {d}_2=a_2=12.7279=9\sqrt{2}\doteq 12.7279 \\ {d}_2=\sqrt{2}{a}_3 \\ {a}_3=d_2\mathrm{/}\sqrt{2}=12.7279\mathrm{/}\sqrt{2}=9 \\ {S}_3=a_3^2=9^2=81 \\ {q}_2=S_3\mathrm{/}{S}_2=81\mathrm{/}162={\displaystyle \frac{1}{2}}=0.5 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 2 komentáre:

Žiak

Myslím, že tento príklad, je zle vyriešený,  q má byť v tomto príklade 1/4. Keď by som si vypočítala S2, tak je to (25/2) ² teda 625/4 a keď dám do pomeru S2 a S1, tak q = 1/4. Potom súčet všetkých obsahov je 2500/3

2 mesiace  Like

Jakub

nemate  asi pravdu, q=1/2... rozpisal som riesenie... uhlopriecka stvorca je odmocnina z 2 krat strana ... q = (1/sqrt(2))² = 1/2
Kruh ma priemer rovny dlzke strany stvorca a vpisany stvorec ma uhlopriecku = priemeru.

2 mesiace  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Rekurzia štvorca
  Do štvorca ABCD je vpísaný štvorec tak, že jeho vrcholy ležia v stredoch strán štvorca ABCD; tomu je vpísaný štvorec rovnakým spôsobom. Postup sa opakuje. Dĺžka strany štvorca ABCD je a = 47 cm. Aký veľký je: a) súčet obvodov všetkých štvorcov, b) súčet o
• Na papieri
  Na papieri bolo napísaných niekoľko kladných celých čísel. Miška si pamätala iba to, že každé číslo bolo polovicou súčtu všetkých ostatných čísel. Koľko čísel mohlo byť napísaných na papieri?
• Súčet obsahov
  Nád výškou rovnostranného trojuholníka ABC je zostrojený rovnostranný trojuholník A1, B1, C1, nad jeho výškou je zostrojený rovnostranný trojuholník A2, B2, C2, atd. Sa postup neustale opakuje. Aký je veľký súčet obsahov všetkých trojuholníkov, ak strana
• Dva kruhy
  Sú dané dva kruhy o rovnakom polomere r = 1. Stred druhého kruhu leží na obvode toho prvého. Aká je plocha štvorca vpísaného do prieniku zadaných kruhov?
• Súčet GP
  Určte súčet GP 30, 6, 1,2, len prvých 5 členov. Aký je súčet všetkých členov (do nekonečna)?
• Uhlopriečka STV
  Vypočítajte uhlopriečku štvorca, ktorého obsah sa rovná 625 centimetrov štvorcových.
• Jama 4
  Táles je vzdialený 1 m od jamy. Oči má vo výške 150 cm nad zemou a pozerá do jamy s priemerom 120 cm podľa obrázka. Vypočítajte hĺbku jamy.
• Dokážte 2
  Dokážte, že postupnosť { 3 – 4. n } od n=1 po ∞ je klesajúca.
• Rad, rady ...
  Určte súčet nekonečného radu: 1/3+1/9+1/27+1/81.. .
• Z9 – I – 5 MO 2018
  Peter a Ivan vytvárali dekorácie z navzájom zhodných bielych kruhov. Peter použil štyri kruhy, ktoré položil tak, že sa každý dotýkal dvoch iných kruhov. Medzi ne potom vložil iný kruh, ktorý sa dotýkal všetkých štyroch bielych kruhov, a ten vyfarbil červ
• Vpísaný trojuholník
  Do štvorca s dĺžkou strany 1 je vpísaný rovnostranný trojuholník tak, že má so štvorcom jeden spoločný vrchol. Aký je obsah vpísaného trojuholníka?
• Trojuholník KLB
  Daný je rovnostranný trojuholník ABC. Z bodu L ktorý je stredom strany BC tohto trojuholníka, je spustená kolmica k na stranu AB. Priesečník kolmice k a strany AB je označený ako bod K. Koľko % z obsahu trojuholníka ABC tvorí trojuholník KLB?
• Z9–I–4 MO 2017
  Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 sa chystali na cestu vlakom s tromi vagónmi. Chceli sa rozsadiť tak, aby v každom vagóne sedeli tri čísla a najväčšie z každej trojice bolo rovné súčtu zvyšných dvoch. Sprievodca tvrdil, že to nie je problém, a snažil sa č
• Cukríky MO Z6-I-5 2017
  V plechovke boli červené a zelené cukríky. Cyril zjedol 2/5 všetkých červených cukríkov a Zuzka zjedla 3/5 všetkých zelených cukríkov. Teraz tvoria červené cukríky 3/8 všetkých cukríkov v plechovke. Koľko najmenej cukríkov mohlo byť pôvodne v plechovke?
• Päť čísel v pomere
  Daných je 5 celých čísel, ktoré sú v pomere 1:2:3:4:5. Ich aritmetický priemer je 12. Určte najmenšie z týchto čísel.
• Uhlopriečka štvorca
  Vypočítajte dľžku uhlopriečky štvorca, ktorého strana je a=11 cm.
• Tehla
  Tehla váži 4 kg a pol tehly. Koľko váži jedna tehla?