Súčet obsahov

Nád výškou rovnostranného trojuholníka ABC je zostrojený rovnostranný trojuholník A1, B1, C1, nad jeho výškou je zostrojený rovnostranný trojuholník A2, B2, C2, atd. Sa postup neustale opakuje. Aký je veľký súčet obsahov všetkých trojuholníkov, ak strana trojuholníka ABC má dĺžku a?

Správna odpoveď:

s =  1,7321 a²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{3}/4a^2 \\ {a}_1=\sqrt{3}/2a \\ {S}_1=\sqrt{3}/4a_1^2=\sqrt{3}/4\cdot (\sqrt{3}/2a{)}^2 \\ {S}_1=3/4S \\ {S}_2=3/4S_1 \\ \dots \\ q=S_2/S_1=S_1/S=,, \\ q=\frac{3}{4}=0,75 \\ q<1 \\ s=\frac{\sqrt{3}/4}{1-q}=\frac{\sqrt{3}/4}{1-0,75}=\sqrt{3}=1,7321{\text{a}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad