Nepravidelný čtyřúhelník

Daný je 4-úhelník ABCD vepsaný do kružnice, přičemž úhlopříčka AC je průměr kružnice. Vzdálenost bodu B od průměru je 15 cm, vzdálenost bodu D od průměru je 18 cm. Vypočítejte poloměr kružnice a obvod 4-úhelníku ABCD.

Správná odpověď:

r =  18 cm
o =  99,7 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} h_1=15\text{cm} \\ {h}_2=18\text{cm} \\ AC=2r \\ x+y=r \\ z+w=r \\ {h}_1^2=x\cdot (y+z+w) \\ {h}_2^2=w\cdot (x+y+z) \\ {h}_1^2=x\cdot (y+r) \\ {h}_2^2=w\cdot (r+z) \\ {h}_1^2=(r-y)\cdot (y+r) \\ {h}_2^2=(r-z)\cdot (r+z) \\ {h}_1^2=r^2-y^2 \\ {h}_2^2=r^2-z^2 \\ z=0 \\ r=\sqrt{h_2^2+z^2}=\sqrt{18^2+0^2}=18=18\text{cm} \\ w=r-z=18-0=18\text{cm} \\ {h}_1^2=r^2-y^2 \\ 15^2=18^2-y^2 \\ {y}^2-99=0 \\ {y}_{1,2}=\pm \sqrt{99}=\pm 9,949874371 \\ {y}_1=9,949874371 \\ {y}_2=-9,949874371 \\ y=y_1=9,9499=3\sqrt{11}\text{cm}\doteq 9,9499\text{cm} \\ x=r-y=18-9,9499\doteq 8,0501\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$$\begin{gathered} a=\sqrt{h_1^2+x^2}=\sqrt{15^2+8,0501^2}\doteq 17,0236\text{cm} \\ b=\sqrt{h_1^2+(r+y{)}^2}=\sqrt{15^2+(18+9,9499{)}^2}\doteq 31,7206\text{cm} \\ c=\sqrt{h_2^2+w^2}=\sqrt{18^2+18^2}=18\sqrt{2}\text{cm}\doteq 25,4558\text{cm} \\ d=\sqrt{h_2^2+(r+z{)}^2}=\sqrt{18^2+(18+0{)}^2}=18\sqrt{2}\text{cm}\doteq 25,4558\text{cm} \\ o=a+b+c+d=17,0236+31,7206+25,4558+25,4558=99,7\text{cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad