30-úhelník

V pravidelném 30-ti úhelníku je poloměr kružnice vepsané 15 cm. Zjištěte velikost hrany „a", poloměr kružnice opsané „R", obvod a obsah.

Správná odpověď:

a =  3,1531 cm
R =  15,0826 cm
o =  94,5938 cm
S =  709,4536 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=15\text{cm} \\ n=30 \\ \alpha =360/n=360/30=12{}^{\circ } \\ \cos \alpha /2=r/R \\ R=r/\cos (\alpha /2)=15/\cos (12/2)\doteq 15,0826\text{cm} \\ (a/2{)}^2=R^2-r^2 \\ x=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{15,0826^2-15^2}\doteq 1,5766\text{cm} \\ a=2\cdot x=2\cdot 1,5766=3,1531\text{cm} \end{gathered}$$

$o=n\cdot a=30\cdot 3,1531=94,5938\text{cm}$

$$\begin{gathered} S_1=\frac{a\cdot r}{2}=\frac{3,1531\cdot 15}{2}\doteq 23,6485{\text{cm}}^2 \\ S=n\cdot S_1=30\cdot 23,6485=709,4536{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad