MO 2019 Z8–I–4

Pre päticu celých čísel platí, že keď k prvému pripočítame jednotku, druhé umocníme na druhú, od tretieho odčítame trojku, štvrté vynásobíme štyrmi a piate vydelíme piatimi, dostaneme zakaždým ten istý výsledok. Nájdite všetky také pätice čísel, ktorých súčet je 122.

Správna odpoveď:

a =  15
b =  4
c =  19
d =  4
e =  80

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a+1=b^2 \\ a+1=c-3 \\ a+1=4d \\ a+1=e/5 \\ a+b+c+d+e=122 \\ (b^2-1)+b+(b^2+3)+(b^2/4)+(5\cdot b^2)=122 \\ 4(b^2-1)+4b+4(b^2+3)+b^2+5\cdot 4\cdot b^2=122\cdot 4 \\ 29b^2+4b=480 \\ 29b^2+4b-480=0 \\ p=29;q=4;r=-480 \\ D=q^2-4pr=4^2-4\cdot 29\cdot (-480)=55696 \\ D>0 \\ {b}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{-4\pm \sqrt{55696}}{58} \\ {b}_{1,2}=\frac{-4\pm 236}{58} \\ {b}_{1,2}=-0,068966\pm 4,068966 \\ {b}_1=4 \\ {b}_2=-4,137931034 \\ b=b_1=4 \\ {b}_2\notin N \\ a=b^2-1=4^2-1=15 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$b=4$

$c=b^2+3=4^2+3=19$

$d=b^2/4=4^2/4=4$

$e=5\cdot b^2=5\cdot 4^2=80$

Skúsiť iný príklad