Narodeniny - paradox

Koľkopočetná musí byť skupina osôb, aby pravdepodobnosť, že dve osoby majú narodeniny v rovnaký deň roka, bola väčšia ako 90%?

Výsledok

n =  41

Riešenie:

p1=1365≐0.0027  q2=1−364365=1365≐0.0027 q3=1−(1−q2)⋅ 363365=1−(1−0.0027)⋅ 363365≐0.0082 q4=1−(1−q3)⋅ 362365=1−(1−0.0082)⋅ 362365≐0.0164  q5=1−(1−q4)⋅ 365−4365=1−(1−0.0164)⋅ 365−4365≐0.0271 q6=1−(1−q5)⋅ 365−5365=1−(1−0.0271)⋅ 365−5365≐0.0405 q7=1−(1−q6)⋅ 365−6365=1−(1−0.0405)⋅ 365−6365≐0.0562 q8=1−(1−q7)⋅ 365−7365=1−(1−0.0562)⋅ 365−7365≐0.0743 q9=1−(1−q8)⋅ 365−8365=1−(1−0.0743)⋅ 365−8365≐0.0946 q10=1−(1−q9)⋅ 365−9365=1−(1−0.0946)⋅ 365−9365≐0.1169 q11=1−(1−q10)⋅ 365−10365=1−(1−0.1169)⋅ 365−10365≐0.1411 q12=1−(1−q11)⋅ 365−11365=1−(1−0.1411)⋅ 365−11365≐0.167 q13=1−(1−q12)⋅ 365−12365=1−(1−0.167)⋅ 365−12365≐0.1944 q14=1−(1−q13)⋅ 365−13365=1−(1−0.1944)⋅ 365−13365≐0.2231 q15=1−(1−q14)⋅ 365−14365=1−(1−0.2231)⋅ 365−14365≐0.2529 q16=1−(1−q15)⋅ 365−15365=1−(1−0.2529)⋅ 365−15365≐0.2836 q17=1−(1−q16)⋅ 365−16365=1−(1−0.2836)⋅ 365−16365≐0.315 q18=1−(1−q17)⋅ 365−17365=1−(1−0.315)⋅ 365−17365≐0.3469 q19=1−(1−q18)⋅ 365−18365=1−(1−0.3469)⋅ 365−18365≐0.3791 q20=1−(1−q19)⋅ 365−19365=1−(1−0.3791)⋅ 365−19365≐0.4114 q21=1−(1−q20)⋅ 365−20365=1−(1−0.4114)⋅ 365−20365≐0.4437 q22=1−(1−q21)⋅ 365−21365=1−(1−0.4437)⋅ 365−21365≐0.4757 q23=1−(1−q22)⋅ 365−22365=1−(1−0.4757)⋅ 365−22365≐0.5073 q24=1−(1−q23)⋅ 365−23365=1−(1−0.5073)⋅ 365−23365≐0.5383 q25=1−(1−q24)⋅ 365−24365=1−(1−0.5383)⋅ 365−24365≐0.5687 q26=1−(1−q25)⋅ 365−25365=1−(1−0.5687)⋅ 365−25365≐0.5982 q27=1−(1−q26)⋅ 365−26365=1−(1−0.5982)⋅ 365−26365≐0.6269 q28=1−(1−q27)⋅ 365−27365=1−(1−0.6269)⋅ 365−27365≐0.6545 q29=1−(1−q28)⋅ 365−28365=1−(1−0.6545)⋅ 365−28365≐0.681 q30=1−(1−q29)⋅ 365−29365=1−(1−0.681)⋅ 365−29365≐0.7063 q31=1−(1−q30)⋅ 365−30365=1−(1−0.7063)⋅ 365−30365≐0.7305 q32=1−(1−q31)⋅ 365−31365=1−(1−0.7305)⋅ 365−31365≐0.7533 q33=1−(1−q32)⋅ 365−32365=1−(1−0.7533)⋅ 365−32365≐0.775 q34=1−(1−q33)⋅ 365−33365=1−(1−0.775)⋅ 365−33365≐0.7953 q35=1−(1−q34)⋅ 365−34365=1−(1−0.7953)⋅ 365−34365≐0.8144 q36=1−(1−q35)⋅ 365−35365=1−(1−0.8144)⋅ 365−35365≐0.8322 q37=1−(1−q36)⋅ 365−36365=1−(1−0.8322)⋅ 365−36365≐0.8487 q38=1−(1−q37)⋅ 365−37365=1−(1−0.8487)⋅ 365−37365≐0.8641 q39=1−(1−q38)⋅ 365−38365=1−(1−0.8641)⋅ 365−38365≐0.8782 q40=1−(1−q39)⋅ 365−39365=1−(1−0.8782)⋅ 365−39365≐0.8912 q41=1−(1−q40)⋅ 365−40365=1−(1−0.8912)⋅ 365−40365≐0.9032 q42=1−(1−q41)⋅ 365−41365=1−(1−0.9032)⋅ 365−41365≐0.914 n=41p_{1}=\dfrac{ 1 }{ 365 } \doteq 0.0027 \ \\ \ \\ q_{2}=1-\dfrac{ 364 }{ 365 }=\dfrac{ 1 }{ 365 } \doteq 0.0027 \ \\ q_{3}=1-(1-q_{2}) \cdot \ \dfrac{ 363 }{ 365 }=1-(1-0.0027) \cdot \ \dfrac{ 363 }{ 365 } \doteq 0.0082 \ \\ q_{4}=1-(1-q_{3}) \cdot \ \dfrac{ 362 }{ 365 }=1-(1-0.0082) \cdot \ \dfrac{ 362 }{ 365 } \doteq 0.0164 \ \\ \ \\ q_{5}=1-(1-q_{4}) \cdot \ \dfrac{ 365-4 }{ 365 }=1-(1-0.0164) \cdot \ \dfrac{ 365-4 }{ 365 } \doteq 0.0271 \ \\ q_{6}=1-(1-q_{5}) \cdot \ \dfrac{ 365-5 }{ 365 }=1-(1-0.0271) \cdot \ \dfrac{ 365-5 }{ 365 } \doteq 0.0405 \ \\ q_{7}=1-(1-q_{6}) \cdot \ \dfrac{ 365-6 }{ 365 }=1-(1-0.0405) \cdot \ \dfrac{ 365-6 }{ 365 } \doteq 0.0562 \ \\ q_{8}=1-(1-q_{7}) \cdot \ \dfrac{ 365-7 }{ 365 }=1-(1-0.0562) \cdot \ \dfrac{ 365-7 }{ 365 } \doteq 0.0743 \ \\ q_{9}=1-(1-q_{8}) \cdot \ \dfrac{ 365-8 }{ 365 }=1-(1-0.0743) \cdot \ \dfrac{ 365-8 }{ 365 } \doteq 0.0946 \ \\ q_{10}=1-(1-q_{9}) \cdot \ \dfrac{ 365-9 }{ 365 }=1-(1-0.0946) \cdot \ \dfrac{ 365-9 }{ 365 } \doteq 0.1169 \ \\ q_{11}=1-(1-q_{10}) \cdot \ \dfrac{ 365-10 }{ 365 }=1-(1-0.1169) \cdot \ \dfrac{ 365-10 }{ 365 } \doteq 0.1411 \ \\ q_{12}=1-(1-q_{11}) \cdot \ \dfrac{ 365-11 }{ 365 }=1-(1-0.1411) \cdot \ \dfrac{ 365-11 }{ 365 } \doteq 0.167 \ \\ q_{13}=1-(1-q_{12}) \cdot \ \dfrac{ 365-12 }{ 365 }=1-(1-0.167) \cdot \ \dfrac{ 365-12 }{ 365 } \doteq 0.1944 \ \\ q_{14}=1-(1-q_{13}) \cdot \ \dfrac{ 365-13 }{ 365 }=1-(1-0.1944) \cdot \ \dfrac{ 365-13 }{ 365 } \doteq 0.2231 \ \\ q_{15}=1-(1-q_{14}) \cdot \ \dfrac{ 365-14 }{ 365 }=1-(1-0.2231) \cdot \ \dfrac{ 365-14 }{ 365 } \doteq 0.2529 \ \\ q_{16}=1-(1-q_{15}) \cdot \ \dfrac{ 365-15 }{ 365 }=1-(1-0.2529) \cdot \ \dfrac{ 365-15 }{ 365 } \doteq 0.2836 \ \\ q_{17}=1-(1-q_{16}) \cdot \ \dfrac{ 365-16 }{ 365 }=1-(1-0.2836) \cdot \ \dfrac{ 365-16 }{ 365 } \doteq 0.315 \ \\ q_{18}=1-(1-q_{17}) \cdot \ \dfrac{ 365-17 }{ 365 }=1-(1-0.315) \cdot \ \dfrac{ 365-17 }{ 365 } \doteq 0.3469 \ \\ q_{19}=1-(1-q_{18}) \cdot \ \dfrac{ 365-18 }{ 365 }=1-(1-0.3469) \cdot \ \dfrac{ 365-18 }{ 365 } \doteq 0.3791 \ \\ q_{20}=1-(1-q_{19}) \cdot \ \dfrac{ 365-19 }{ 365 }=1-(1-0.3791) \cdot \ \dfrac{ 365-19 }{ 365 } \doteq 0.4114 \ \\ q_{21}=1-(1-q_{20}) \cdot \ \dfrac{ 365-20 }{ 365 }=1-(1-0.4114) \cdot \ \dfrac{ 365-20 }{ 365 } \doteq 0.4437 \ \\ q_{22}=1-(1-q_{21}) \cdot \ \dfrac{ 365-21 }{ 365 }=1-(1-0.4437) \cdot \ \dfrac{ 365-21 }{ 365 } \doteq 0.4757 \ \\ q_{23}=1-(1-q_{22}) \cdot \ \dfrac{ 365-22 }{ 365 }=1-(1-0.4757) \cdot \ \dfrac{ 365-22 }{ 365 } \doteq 0.5073 \ \\ q_{24}=1-(1-q_{23}) \cdot \ \dfrac{ 365-23 }{ 365 }=1-(1-0.5073) \cdot \ \dfrac{ 365-23 }{ 365 } \doteq 0.5383 \ \\ q_{25}=1-(1-q_{24}) \cdot \ \dfrac{ 365-24 }{ 365 }=1-(1-0.5383) \cdot \ \dfrac{ 365-24 }{ 365 } \doteq 0.5687 \ \\ q_{26}=1-(1-q_{25}) \cdot \ \dfrac{ 365-25 }{ 365 }=1-(1-0.5687) \cdot \ \dfrac{ 365-25 }{ 365 } \doteq 0.5982 \ \\ q_{27}=1-(1-q_{26}) \cdot \ \dfrac{ 365-26 }{ 365 }=1-(1-0.5982) \cdot \ \dfrac{ 365-26 }{ 365 } \doteq 0.6269 \ \\ q_{28}=1-(1-q_{27}) \cdot \ \dfrac{ 365-27 }{ 365 }=1-(1-0.6269) \cdot \ \dfrac{ 365-27 }{ 365 } \doteq 0.6545 \ \\ q_{29}=1-(1-q_{28}) \cdot \ \dfrac{ 365-28 }{ 365 }=1-(1-0.6545) \cdot \ \dfrac{ 365-28 }{ 365 } \doteq 0.681 \ \\ q_{30}=1-(1-q_{29}) \cdot \ \dfrac{ 365-29 }{ 365 }=1-(1-0.681) \cdot \ \dfrac{ 365-29 }{ 365 } \doteq 0.7063 \ \\ q_{31}=1-(1-q_{30}) \cdot \ \dfrac{ 365-30 }{ 365 }=1-(1-0.7063) \cdot \ \dfrac{ 365-30 }{ 365 } \doteq 0.7305 \ \\ q_{32}=1-(1-q_{31}) \cdot \ \dfrac{ 365-31 }{ 365 }=1-(1-0.7305) \cdot \ \dfrac{ 365-31 }{ 365 } \doteq 0.7533 \ \\ q_{33}=1-(1-q_{32}) \cdot \ \dfrac{ 365-32 }{ 365 }=1-(1-0.7533) \cdot \ \dfrac{ 365-32 }{ 365 } \doteq 0.775 \ \\ q_{34}=1-(1-q_{33}) \cdot \ \dfrac{ 365-33 }{ 365 }=1-(1-0.775) \cdot \ \dfrac{ 365-33 }{ 365 } \doteq 0.7953 \ \\ q_{35}=1-(1-q_{34}) \cdot \ \dfrac{ 365-34 }{ 365 }=1-(1-0.7953) \cdot \ \dfrac{ 365-34 }{ 365 } \doteq 0.8144 \ \\ q_{36}=1-(1-q_{35}) \cdot \ \dfrac{ 365-35 }{ 365 }=1-(1-0.8144) \cdot \ \dfrac{ 365-35 }{ 365 } \doteq 0.8322 \ \\ q_{37}=1-(1-q_{36}) \cdot \ \dfrac{ 365-36 }{ 365 }=1-(1-0.8322) \cdot \ \dfrac{ 365-36 }{ 365 } \doteq 0.8487 \ \\ q_{38}=1-(1-q_{37}) \cdot \ \dfrac{ 365-37 }{ 365 }=1-(1-0.8487) \cdot \ \dfrac{ 365-37 }{ 365 } \doteq 0.8641 \ \\ q_{39}=1-(1-q_{38}) \cdot \ \dfrac{ 365-38 }{ 365 }=1-(1-0.8641) \cdot \ \dfrac{ 365-38 }{ 365 } \doteq 0.8782 \ \\ q_{40}=1-(1-q_{39}) \cdot \ \dfrac{ 365-39 }{ 365 }=1-(1-0.8782) \cdot \ \dfrac{ 365-39 }{ 365 } \doteq 0.8912 \ \\ q_{41}=1-(1-q_{40}) \cdot \ \dfrac{ 365-40 }{ 365 }=1-(1-0.8912) \cdot \ \dfrac{ 365-40 }{ 365 } \doteq 0.9032 \ \\ q_{42}=1-(1-q_{41}) \cdot \ \dfrac{ 365-41 }{ 365 }=1-(1-0.9032) \cdot \ \dfrac{ 365-41 }{ 365 } \doteq 0.914 \ \\ n=41

Skúsiť iný príklad


Naše príklady z veľkej miery nám poslali alebo vytvorili samotní žiaci a študenti. Preto budeme veľmi radi, ak prípadne chyby, ktoré ste našli, pravopisné chyby alebo preštylizovanie príkladu nám prosím pošlite. Ďakujeme!





Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 1 komentár:
#
Anna
Pozrite si k tomuto paradoxu narodenín aj video - https://www.youtube.com/watch?v=nQxGfWD3ggg

avatar









Tipy na súvisiace online kalkulačky
Naša kalkulačka na výpočet percent Vám pomôže rýchlo vypočítať rôzne typické úlohy s percentami.
Prajete si premeniť jednotku času, napr. hodiny na minúty?
Chceš si dať zrátať kombinačné číslo?

Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:


 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Narodenie dieťaťa
    probability Predpokladajme, že pravdepodobnosť narodenia chlapca aj dievčaťa v rodine je rovnaká. Aká je pravdepodobnosť, že v rodine s piatimi deťmi je najmladšie aj najstaršie dieťa chlapec?
  2. Ele spotrebiče
    tr_1 Pri elektrických spotrebičoch určitého druhu sa vyskytuje výrobná chyba s pravdepodobnosťou 0,1. Pri výrobkoch s uvedenou chybou dochádza v záručnej dobe k poruche s pravdepodobnosťou 0,5. Výrobky, ktoré nemajú výrobnú chybu, vykazujú poruchu v záručnej d
  3. Nádoby 2
    gule_4 V prvej nádobe máme 3 biele a 6 čiernych guľôčok. V druhej nádobe máme 2 biele a 6 čiernych guľôčok. Z prvej nádoby náhodne preložíme do druhej nádoby 1 guľôčku. Aká je pravdepodobnosť, že potom z druhej nádoby vyberiem 2 biele guľôčky?
  4. Zelená - červená
    balls_2 Máme 5 vrecúška / vrecia. V každom z nich je jedna zelená a 2 červené guličky. Z každého ťahám len jednu guľôčku. Aká je pravdepodobnosť, že nevytiahnem ani jednu zelenú?
  5. Uhádne
    test Test obsahuje 4 otázky a na každú z nich je 5 rôznych odpovedí, z ktorých je správna len jedna, ostatné sú nesprávne. Aká je pravdepodobnosť, že žiak, ktorý nepozná odpoveď na žiadnu otázku, uhádne správne odpovede na všetky otázky?
  6. Firma
    probability Firma doteraz vyrobila 500 000 áut a z toho 5000 bolo vadných. Aká je pravdepodobnosť, že z dennej produkcie 50 áut bude najviac jedno auto vadné?
  7. Strelci
    soldiers V rote sú six strelci. Prvý strelec strieľa do cieľa s pravdepodobnosťou 49%, ďaľší s 75%, 41%, 20%, 34%, 63%, Vypočítajte pravdepodobnosť zásahu cieľa, ak strieľajú všetcia naraz.
  8. Traja strelci
    terc2_3 Traja strelci strieľajú, každý raz, na ten istý terč. Prvý zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,7; druhý s pravdepodobnosťou 0,8 a tretí s pravdepodobnosťou 0,9. Aká je pravdepodobnsť, že terč zasiahnu: a) práve raz b) aspoň raz c) aspoň dvakrát
  9. Srdcia
    hearts_cards 4 kariet je vybraných ze štandardnej sady 52 hracích kariet (13 sŕdc) s vrátením. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahneme 4 sŕdc po sebe?
  10. Gule
    spheres Z osudia, v ktorom je 6 gulí bielych a 15 červených, ťaháme postupne 4-krát bez vrátenia. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahneme gule v poradí: červená biela červená červená?
  11. Karty
    cards_2 Predpokladajme, že v klobúku sú tri karty. Jedna z nich je červená na obidvoch stranách, jedna z nich je čierna na obidvoch stranách a tretia má jednu stranu červenú a druhú čiernu. Z klobúka náhodne vytiahneme jednu kartu, a vidíme, že jedna jej strana j
  12. Dve kocky
    dices6_1 Hádžeme 2 krát 2 hracími kockami. Aká je pravdepodobnosť že v prvom hode padne súčet najviac 9 a v druhom hode padne súčet 3 alebo nepadne súčet 4?
  13. Balíček kariet
    cards_7 Z balíčku 32 kariet náhodne vytiahneme 1 kartu a potom ešte 2 karty. Aká je pravdepodobnosť, že obe neskôr vytiahnuté karty sú esá?
  14. Aká je
    cars Aká je pravdepodobnost, že aspoň jeden poplašný systém bude signalizovať krádež motorového vozidla, keď účinnosť prvého systému je 90% a nezavislého druhého systému 80%?
  15. Pravdepodobnoť,
    binomial_1 Pravdepodobnoť, že kvalitný výrobok bude vyhovovať všetkým technickým požiadavkám, je 0,95. Aká je pravdepodobnosť, že všetky tri náhodne vyrobené výrobky budú: a) vyhovujúce, b) nevyhovujúce
  16. Žiarovky
    bulb Pravdepodobnosť že žiarovka vydrží svietiť 2000 hodín je 0.29. Aká je pravdepodobnosť že práve jedna žiarovka z nine vydrží prevádzku 2000 hodín?
  17. Koza 4
    bielakoza Slnko vychádza na východe od prístrešku a zapadá na západe. Koze by sa zišlo trochu tieňa, kde a aký druh stromu treba zasadiť , aby ho neobjedla?