Z7-I-5 MO 2017

Prokop zostrojil trojuholník ABC, ktorého vnútorný uhol pri vrchole A bol väčší ako 60° a vnútorný uhol pri vrchole B bol menší ako 60°. Juraj narysoval v polrovine určenej priamkou AB a bodom C bod D, a to tak, že trojuholník ABD bol rovnostranný. Potom chlapci zistili, že trojuholníky ACD a BCD sú rovnoramenné s hlavným vrcholom D. Určte veľkosť uhla ACB.

Správny výsledok:

x =  30 °

Riešenie:

$$\begin{gathered} x=ACB \\ y=DCB=CBD \\ z=ADC \\ \mathrm{\angle }ADB=60^{\circ } \\ CD=AD=DB=AB=a \\ DAC=DCA=x+y \\ BCD:2y+60+z=180 \\ ACD:2(x+y)+z=180 \\ 2y+z=120 \\ 2x+2y+z=180 \\ 2x+120=180 \\ x=(180-120)\mathrm{/}2=30^{\circ } \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 4 komentáre:

Ziak

Mohli by ste mi vysvetliť ako ste to počítali ?

3 roky  3 Likes Like

Žiak

je to divne

2 roky  Like

Žiak

Ako sa to počita?

2 roky  Like

Euklides

Toto je analyticko-algebraické řešení, kdy za neznámé úhly dosadíte proměnné x,y,z, dosadíte si je do rovnic dle známého pravidla, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180° a vyřešíte soustavu rovnic. Dostanete výsledek - 30°
Zajímavější je zamyslet se nad tím, proč je to VŹDY právě 30°
A tady je mnohem názornější geometrické řešení přes středové a obvodové úhly kružnice.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABD a kružnici se středem v bodu D procházející body A i B.
Jako bod C si zvolte jakýkoliv bod na kružnici (v polorovinně dané přímkou AB a bodem D).
Jelikož úhel ACB (který máme určit) je obvodovým úhlem ke středovému úhlu ADB (a ten je 60° z definice rovnostrannosti tohoto trojúhelníku), jeho velikost je přesně jeho polovinou. A to VŽDY, nezávisle na tom, kde se bod C na kružnici nachází.
Nakreslete si, je to pak vidět lépe než ze soustavy rovnic.

2 roky  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Rovnoramenný lichobežník
  Je daný rovnoramenný lichobežník ABCD, v ktorom platí: |AB| = 2 |BC| = 2 |CD| = 2 |DA|: Na jeho strane BC je bod K taký, že |BK| = 2 |KC|, na jeho strane CD je bod L taký, že |CL| = 2 |LD|, a na jeho strane DA je bod M taký, že |DM| = 2 |MA|. Určte veľkos
• Vonkajší uhol
  Vonkajší uhol trojuholnika ABC pri vrchole A je 71°40' vonkajší uhol pri vrchole B je 136° 50'. Akú veľkosť má vnútorný uhol trojuholnika pri vrchole C?
• Päťuholník
  Vo vnútri pravidelného päťuholníka ABCDE je bod P taký, že trojuholník ABP je rovnostranný. Aký veľký je uhol BCP? Urob si náčrtok.
• Rovnoramenný - Z7–I–5
  Je daný trojuholník ABC so stranami /AB/ = 3 cm, /BC/ = 10 cm a uhlom ABC = 120°. Narysujte všetky body X tak, aby platilo, že trojuholník BCX je rovnoramenný a súčasne trojuholník ABX je rovnoramenný so základňou AB.
• Z7-1-6 MO 2018
  Daný je rovnoramenný pravouhlý trojuholník ABS so základňou AB. Na kružnici, ktorá má stred v bode S a prechádza bodmi A a B, leží bod C tak, že trojuholník ABC je rovnoramenný. Určte, koľko bodov C vyhovuje uvedeným podmienkam, a všetky také body zostroj
• MO Z9 2019 domáce kolo
  V trojuholníku ABC leží bod P v tretine úsečky AB (bližšie bodu A), bod R je v tretine úsečky PB (bližšie bodu P) a bod Q leží na úsečke BC tak, že uhly PCB a RQB sú zhodné. Určte pomer obsahov trojuholníkov ABC a PQC.
• Vnútorné uhly 7
  Veľkosť vnútorného uhla pri hlavnom vrchole C rovnoramenného trojuholníka ABC je 72°. Priamka p, rovnobežná so základňou tohto trojuholníka, rozdeľuje trojuholník na lichobežník a menší trojuholník. Aké veľké sú vnútorné uhly lichobežníka?
• Z8-I-2 MO 2017
  V ostrouhlom trojuholníku KLM má uhol KLM veľkosť 68°. Bod V je priesečníkom výšok a P je pätou výšky na stranu LM. Os uhla P V M je rovnobežná so stranou KM. Porovnajte veľkosti uhlov MKL a LMK.
• Uhly v trojuholníku
  V trojuholníku ABC je vnútorný uhol pri vrchole C dvakrát väčší ako vnútorný uhol pri vrchole A. Vonkajší uhol pri vrchole B meria 117°. Aký veľký je vonkajší uhol pri vrchole A?
• Susedné uhly 2
  Jeden zo susedných uhlov je väčší ako druhý o 33°. Vypočítajte veľkosť uhlov.
• Z7–I–2 MO 2017
  Dané sú dve dvojice rovnobežných priamok AB k CD a AC k BD. Bod E leží na priamke BD, bod F je stredom úsečky BD, bod G je stredom úsečky CD a obsah trojuholníka ACE je 20 cm². Určte obsah trojuholníka DFG.
• Uhly
  Vonkajší uhol trojuholníka ABC pri vrchole A je 114°12'. Vonkajší uhol pri vrchole B je 139°18'. Akú veľkosť má vnútorný uhol pri vrchole C?
• Súčet je 180
  Vypočítaj veľkosť uhla gama v trojuholníku ABC ak: α = 38°56’ a β = 47°54’ .
• Urči uhol,
  Urči uhol, ktorý zviera veľká ručička s malou ručičkou na hodinách – stredový uhol o 12:30. Urči veľkosť menšieho uhla (ak sa dá). (Pomôcka: stačí ak vypočítaš aký veľký uhol zvierajú ručičky ak sú od seba vzdialené 1 minútu. Kruh má 360°, hodina 60 minút
• Rovnoramenný lichobežník
  Lichobežník MUWG (MU||WG) je rovnoramenný. Veľkosť uhla pri vrchole M je 26 stupňov. Vypočítajte veľkosť uhla pri vrchole G.
• Vpísaná kružnica 4
  Vypočítajte veľkosť uhla BAC v trojuholníku ABC ak viete, že je trikrát menší ako uhol BOC, kde O je stred kružnice vpísanej do trojuholníka ABC.
• Prekážka
  Určte vzdialenosť dvoch miest M, N, medzi ktorými je prekážka, takže miesto N z miesta M nie je viditeľné. Boli merané uhly MAN = 130°, NBM = 109° a vzdialenosti |AM| = 54, |BM| = 60, pričom body A, B, M ležia na jednej priamke.