V trojuholníku 18

V trojuholníku ABC je dané b=5 cm, c=6 cm, /BAC/ = 80°. Vypočítajte veľkosti ostatných strán a uhlov, ďalej určte veľkosti ťažnice tc a obsah trojuholníka.

Správna odpoveď:

a =  7,112 cm
β =  43,8166 °
γ =  56,1834 °
t =  5,3657 cm
S =  14,7721 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} b=5\text{cm} \\ c=6\text{cm} \\ \alpha =80{}^{\circ } \\ {a}^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha \\ a=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha }=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos 80°}=\sqrt{5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \cos 80°}=\sqrt{5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot 0,173648}=7,112=7,112\text{cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta \\ B=\arccos (\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c})=\arccos (\frac{7,112^2+6^2-5^2}{2\cdot 7,112\cdot 6})\doteq 0,7647\text{rad} \\ \beta =B\to \text{°}=B\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=0,7647\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=43,817\text{°}=43,8166^{\circ }=43°49^{\prime } \end{gathered}$$

$\gamma =180-\alpha -\beta =180-80-43,8166=56,1834^{\circ }=56°11^{\prime }$

Vyskúšajte výpočet cez kalkulačku trojuholníkov.

$$\begin{gathered} t^2=b^2+(c/2{)}^2-2\cdot b\cdot (c/2)\cdot \cos \alpha ) \\ t=\sqrt{b^2+(c/2{)}^2-b\cdot c\cdot \cos \alpha }=\sqrt{b^2+(c/2{)}^2-b\cdot c\cdot \cos 80°}=\sqrt{5^2+(6/2{)}^2-5\cdot 6\cdot \cos 80°}=\sqrt{5^2+(6/2{)}^2-5\cdot 6\cdot 0,173648}=5,366=5,3657\text{cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7,112+5+6}{2}\doteq 9,056\text{cm} \\ S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}=\sqrt{9,056\cdot (9,056-7,112)\cdot (9,056-5)\cdot (9,056-6)}=14,7721{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad