Krájanie torty

Katka si objednala tortu v tvare valca s objemom 15,7l. Skladá sa z dvoch poschodí. Objem horného poschodia je 4x menší ako objem dolného poschodia. Výška oboch poschodí rovnaká a je rovná polomeru horného poschodia torty. Katka rozkrojila tortu kolmo k podložke na 2 rovnako časti. Aký je priemer spodnej časti torty? Aká je výška celej torty? A aký je obsah rezu torty?

Správna odpoveď:

d₂ =  40 cm
H =  20 cm
S =  599,8 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} V=15,7\text{l}\to {\text{cm}}^3=15,7\cdot 1000{\text{cm}}^3=15700{\text{cm}}^3 \\ V=V_1+V_2 \\ {V}_1=V_2/4 \\ V=V_2/4+V_2 \\ 15700=V_2/4+V_2 \\ 5V_2=62800 \\ {V}_2=\frac{62800}{5}=12560 \\ {V}_2=12560 \\ {V}_1=V_2/4=12560/4=3140{\text{cm}}^3 \\ h=r_1 \\ {V}_1=\pi r_1^2\cdot h=\pi r_1^3 \\ {r}_1=\sqrt[3]{\frac{V_1}{\pi }}=\sqrt[3]{\frac{3140}{3,1416}}\doteq 9,9983\text{cm} \\ h=r_1=9,9983\doteq 9,9983\text{cm} \\ {V}_2=\pi r_2^2\cdot h \\ {r}_2=\sqrt{\frac{V_2}{\pi \cdot h}}=\sqrt{\frac{12560}{3,1416\cdot 9,9983}}\doteq 19,9966\text{cm} \\ {d}_2=2\cdot r_2=2\cdot 19,9966=40\text{cm} \end{gathered}$$

$H=2\cdot h=2\cdot 9,9983=20\text{cm}$

$S=h\cdot (2\cdot r_1)+h\cdot d_2=9,9983\cdot (2\cdot 9,9983)+9,9983\cdot 39,9932=599,8{\text{cm}}^2$

Skúsiť iný príklad