Nádoba - kužel

Uzavřená nádoba ve tvaru kužele stojící na své podstavě je naplněna vodou tak, že hladina se nachází 8 cm od vrcholu. Po otočení nádoby o 180 stupňů – stojí na vrcholu – je hladina vzdálena 2 cm od podstavy. Jak vysoká nádoba je?

Správná odpověď:

h =  10,2195 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} h_1=8\doteq 10,2195\text{cm} \\ {h}_2=2\doteq -8,2195\text{cm} \\ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ {V}_3=\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1 \\ {V}_1=V-V_3 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\pi r^{2}h-\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\pi (r^{2}h-r_1^2{h}_1) \\ {r}_1<r_2<r \\ {r}_1:h_1=r:h \\ {r}_1=r\cdot h_1/h \\ {r}_2:(h-h_2)=r:h \\ {r}_2=r\cdot (h-h_2)/h \\ {V}_2=\frac{1}{3}\pi r_2^2(h-h_2) \\ {V}_1=V_2 \\ \frac{1}{3}\pi (r^{2}h-r_1^2{h}_1)=\frac{1}{3}\pi r_2^2(h-h_2) \\ (r^{2}h-r_1^2{h}_1)=r_2^2(h-h_2) \\ (r^{2}h-(r\cdot h_1/h{)}^2{h}_1)=(r(h-h_2)/h{)}^2(h-h_2) \\ (h-(h_1/h{)}^2\cdot h_1)=((h-h_2)/h{)}^2(h-h_2) \\ (h-(8/h{)}^2\cdot 8)=((h-2)/h{)}^2(h-2) \\ h(h-2)=84 \\ {h}^2-2h-84=0 \\ a=1;b=-2;c=-84 \\ D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-84)=340 \\ D>0 \\ {h}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{340}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{85}}{2} \\ {h}_{1,2}=1\pm 9,219544 \\ {h}_1=10,219544457 \\ {h}_2=-8,219544457 \\ h>0 \\ h=h_1=10,2195=10,2195\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad