Trojúhelník ABC a TRN

V rovnostranném trojúhelníku ABC je bod T jeho těžištěm, bod R je obrazem bodu T v osové souměrnosti podle přímky AB a bod N je obrazem bodu T v osové souměrnosti podle přímky BC. Určitě poměr obsahů trojúhelníků ABC a TRN.

Správná odpověď:

r =  3:1

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=1 \\ v=\sqrt{3}/2\cdot a=\sqrt{3}/2\cdot 1\doteq 0,866 \\ {S}_1=\frac{a\cdot v}{2}=\frac{1\cdot 0,866}{2}\doteq 0,433 \\ {t}_1:t_2=2:1 \\ {t}_1+t_2=t=v \\ {t}_2=\frac{1}{3}\cdot v=\frac{1}{3}\cdot 0,866\doteq 0,2887 \\ TR=2\cdot t_2=2\cdot 0,2887\doteq 0,5774 \\ TN=TR=0,5774\doteq 0,5774 \\ \angle BTN=60{}^{\circ } \\ \cos BTN=v_2:TN \\ {v}_2=TN\cdot \cos BTN=TN\cdot \cos 60°=0,5774\cdot \cos 60°=0,5774\cdot 0,5=0,28868 \\ T{N}^2=(RN/2{)}^2+v_2^2 \\ RN=2\cdot \sqrt{T{N}^2-v_2^2}=2\cdot \sqrt{0,5774^2-0,2887^2}=1 \\ {S}_2=\frac{RN\cdot v_2}{2}=\frac{1\cdot 0,2887}{2}\doteq 0,1443 \\ r=S_1/S_2=0,433/0,1443=3=3:1 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad