Poloměr menší kružnice

Gotický čtyřlístek je ornament, ve kterém jsou do větší kružnice vepsány čtyři stejné dotýkající se menší kružnice, jak vidíte na obrázku. Poloměr velké kružnice je jeden metr. Vypočítejte v metrech poloměr menší kružnice.

Správná odpověď:

r =  0,4142 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} R=1\text{m} \\ (r+r{)}^2=(r+x{)}^2+(r+x{)}^2 \\ r+r+x=R \\ r=(R-x)/2 \\ x=R-2r \\ (2r{)}^2=2(r+x{)}^2 \\ (2r{)}^2=2(r+R-2r{)}^2 \\ 4r^2=2(R-r{)}^2 \\ 2r^2=(R-r{)}^2 \\ 2r^2=(1-r{)}^2 \\ {r}^2+2r-1=0 \\ a=1;b=2;c=-1 \\ D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-1)=8 \\ D>0 \\ {r}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ {r}_{1,2}=-1\pm 1,414214 \\ {r}_1=0,414213562 \\ {r}_2=-2,414213562 \\ r=r_1=0,4142\doteq 0,4142 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ x=R-2\cdot r=1-2\cdot 0,4142\doteq 0,1716\text{m} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad