Na majstrovstvách

Na majstrovstvách sveta 2021 v hokeji je v skupine A 8 mužstiev, každé z nich hrá 7 zápasov, v každom zápase sú pre každé mužstvo 4 možnosti získania bodov (3-2-1-0), vždy je to ale spárované s bodmi súpera (0-1-2-3). Koľko existuje možností rozdelenia bodov po skončení všetkých 28 zápasov?

Správna odpoveď:

Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.

Zobrazujem 2 komentáre:

Petrovia

Q: az 28 zapasov? Mne vysiel ze 8 muzsiev pavukom zahra len 7 zapasov.

A: Ďakujem za promptnú (a zrejme aj správnu) odpoveď.
Som matematický amatér s maturitou z matematiky, skúšal so si obnoviť poznatky z kombinatoriky.
Po odoslaní príspevku som aj ja prišiel na to, že tu neide o permutácie-kombinácie-variácie, ale o jednoduché mocniny:
jeden zápas - 4 možnosti,
dva zápasy - ku každej z prvých 4 možností ďalšie 4 možnosti, teda 4²,
.... 28 zápasov - 4²⁸ = 72 057 594 037 927 936,
akurát z toho musí ísť mráz po chrbte všetkým stávkujúcim, ak by chceli uhádnuť všetky výsledky v základnej skupine:
Pravdepodobnosť 1: vyše 72 triliónov !

S pozdravom,
tiež Peter

Q2: ta mocnina su variacie s opakovanim:

https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/kombinacie-a-permutacie?n=4&k=28&order=1&repeat=1

4 roky Like

Radoslav

Poskytnuté riešenie je nesprávne. Použitý vzorec predpokladá, že všetky výsledky majú rovnakú pravdepodobnosť, čo v tomto prípade nie je pravda. Jedným zo spôsobov, ako vyriešiť tento problém, je použiť kombinatoriku a multinomickú vetu.

Každú hru si môžeme predstaviť ako výber jedného výsledku zo štyroch možností (výhra 3-0, výhra 3-2, prehra 2-3 alebo prehra 0-3). Každú hru môžeme reprezentovať ako reťazec dĺžky 2, kde prvý znak predstavuje výsledok pre jeden tím a druhý znak predstavuje výsledok pre druhý tím. Napríklad reťazec „32“ predstavuje hru, kde jeden tím vyhrá 3-2 a druhý tím prehrá 2-3.

Môžeme spočítať počet možných reťazcov dĺžky 2, ktoré možno vytvoriť pomocou štyroch možných výsledkov:

Existujú 4 reťazce dĺžky 2, kde sú oba znaky rovnaké (t. j. "33", "22", "11" alebo "00").
Existuje 8 reťazcov dĺžky 2, v ktorých sa znaky líšia (t. j. "30", "32", "31", "20", "02", "21", "13" alebo "03").
Pomocou multinomickej vety možno počet spôsobov rozdelenia bodov medzi 8 tímov vypočítať takto:

n = (28 vyberte 4,4,4,4,4,4,4,4) * (4⁴)⁸

kde (28 vyberte 4,4,4,4,4,4,4,4) je multinomický koeficient, ktorý udáva počet spôsobov, ako rozdeliť 28 hier do 8 skupín po 4 hry a (4⁴) ⁸ je počet možných výsledkov pre každú skupinu 4 hier (keďže každá skupina môže byť reprezentovaná reťazcom 4 znakov, každý so 4 možnými hodnotami).

Pomocou kalkulačky alebo softvéru na vyhodnotenie tohto výrazu dostaneme:

n ≈ 7,20576 x 10¹⁶

Preto existuje približne 7,20576 x 10¹⁶ možných spôsobov, ako rozdeliť body medzi 8 tímov po odohratí všetkých 28 zápasov.

2 roky Like