2x kužel

Rotační kužel o výšce 55 cm byl rozříznut rovinou rovnoběžnou s podstavou tak, že vznikl menší rotační kužel a komolý rotační kužel. Objem těchto dvou těles je stejný. Určete výšku menšího kužele.

Správná odpověď:

v₂ =  43,6535 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} v_1=55\text{cm} \\ {r}_1=1\text{cm} \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot v_1=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 1^2\cdot 55\doteq 57,5959{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=V_1/2=57,5959/2\doteq 28,7979{\text{cm}}^3 \\ {r}_1:v_1=r_2:v_2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot v_2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r_1/v_1\cdot v_2{)}^2\cdot v_2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2/v_1^2\cdot v_2^3 \\ {v}_2=\sqrt[3]{3\cdot V_2/\pi /r_1^2\cdot v_1^2}=\sqrt[3]{3\cdot 28,7979/3,1416/1^2\cdot 55^2}\doteq 43,6535 \\ {r}_2=r_1/v_1\cdot v_2=1/55\cdot 43,6535\doteq 0,7937\text{cm} \\ {V}_3=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot v_2=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 0,7937^2\cdot 43,6535\doteq 28,7979{\text{cm}}^3 \\ {v}_2=V_3=V_2=V_1/2=43,6535\text{cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad